Exercício 3. Sabemos que o conjunto dos números complexos
, munido das operações usuais de adiçà (£) o de números complexos e multiplicaçà (£) o de número real por número complexo, é um espaço vetorial sobre
.
Mostre que o número complexo
, gera o espaço vetorial complexo (
).
Mostre que o número complexo
Passo 1
O enunciado quer que mostremos que, visto como espaço vetorial sobre o corpo
, o conjunto formado por
gera todo o espaço
. Para isso, usamos a definição de geração: se
, então
Passo 2
Aplicando essa definição ao conjunto
, temos
Passo 3
Mas, por propriedades da multiplicação em
, para todo
Logo cada
está em
.
Passo 4
Desse modo
ou seja,
gera todo o espaço vetorial
.
Passo 5
Concluímos que o número complexo
gera o espaço vetorial complexo
.