Queremos mostrar que é uma variedade (superfície) em de dimensão
Para isso, vamos usar o fato de que cada assim descrito é a projeção ortogonal em um subespaço de dimensão e que o grupo ortogonal age por conjugação em tais projeções de forma transitiva.
Passo 2
Se satisfaz e , então é a projeção ortogonal sobre o subespaço . Em uma base ortonormal que diagonalize , temos
onde dim V=k. Denotemos essa projeção padrão por
P0= Ik & 0 0 & 0
Passo 3
O grupo ortogonal O(n) age em matrizes simétricas por
Essa ação preserva idempotência e posto, e a órbita de P0 é exatamente
O(n)cdot P0 =l,U,P0,U^T:UinO(n)r =Gk,n
Assim Gk,n é a órbita homogênea de P0.
Passo 4
O estabilizador (subgrupo de isotropia) de P0 é
H=,UinO(n):U,P0,U^T=P0 cong O(k)timesO(n-k),
pois U deve preservar o subespaço de dimensão k e seu complemento de dimensão n-k. Logo
Gk,ncong O(n)/H
como variedade homogênea.
Passo 5
Sabemos que dim!l(O(n)r)=tfracn(n-1)2, dim!l(O(k)r)=tfrack(k-1)2
e dim!l(O(n-k)r)=tfrac(n-k)(n-k-1)2.
Pelo teorema de dimensão de quociente de Lie grupos,
dim Gk,n =dimO(n)-dim H =n(n-1)2 -l[k(k-1)2+(n-k)(n-k-1)2r] =k(n-k)