Exercício 10. A partir de um quadrado de lado medindo 1 cm , determine as medidas dos seno, cosseno e da tangente de
.
Passo 1
O enunciado nos dá um quadrado com lado medindo
e pede as medidas do seno, cosseno e da tangente de
. Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Lado do quadrado:
- O ângulo considerado é
. - É possível usar partes do quadrado (por exemplo a diagonal) para formar um triângulo retângulo que envolva um ângulo de
.
Passo 2
Construção geométrica útil: traçar a diagonal do quadrado. Ao traçar a diagonal, o quadrado é dividido em dois triângulos retângulos congruentes. Cada um desses triângulos tem:
- dois catetos com comprimento
(os lados do quadrado), - um ângulo agudo igual a
em cada vértice do quadrado (porque o ângulo interno do quadrado é e a diagonal o divide em dois ângulos iguais).
Passo 3
Calcular o comprimento da diagonal (hipotenusa do triângulo retângulo) usando o Teorema de Pitágoras. O Teorema de Pitágoras diz que, num triângulo retângulo com catetos de comprimentos
e
e hipotenusa
,
Aqui
e
, logo
portanto
Conclusão: a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela diagonal mede
Passo 4
Definições das razões trigonométricas no triângulo retângulo (explicadas de forma prática):
- O seno de um ângulo agudo é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo e o comprimento da hipotenusa.
- O cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo e o comprimento da hipotenusa.
- A tangente de um ângulo agudo é a razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento do cateto adjacente.
Escrevendo simbolicamente, para um ângulo
num triângulo retângulo com cateto oposto
, cateto adjacente
e hipotenusa
:
Passo 5
Aplicar as definições ao nosso triângulo de lados conhecidos. Para o ângulo
num dos triângulos formados pela diagonal:
- cateto oposto
, - cateto adjacente
, - hipotenusa
.
Calcular o seno:
Passo 6
Racionalizar o denominador (prática usual para escrever o resultado de forma mais limpa). Para
, multiplica-se numerador e denominador por
:
Portanto
Passo 7
Calcular o cosseno da mesma maneira. Como o cateto adjacente também vale
, temos
Passo 8
Calcular a tangente usando a razão entre catetos:
Intuitivamente: em um triângulo retângulo isósceles (dois catetos iguais), a tangente do ângulo formado por esses catetos é
.