Exercício 10. A partir de um quadrado de lado medindo 1 cm , determine as medidas dos seno, cosseno e da tangente de 45^{\circ}.

Passo 1

O enunciado nos dá um quadrado com lado medindo \,1\\ \text{cm}\, e pede as medidas do seno, cosseno e da tangente de 45^\circ. Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Lado do quadrado: \,1\\ \text{cm}.
  • O ângulo considerado é \,45^\circ.
  • É possível usar partes do quadrado (por exemplo a diagonal) para formar um triângulo retângulo que envolva um ângulo de 45^\circ.

Passo 2

Construção geométrica útil: traçar a diagonal do quadrado. Ao traçar a diagonal, o quadrado é dividido em dois triângulos retângulos congruentes. Cada um desses triângulos tem:
  • dois catetos com comprimento \,1\\ \text{cm} (os lados do quadrado),
  • um ângulo agudo igual a \,45^\circ em cada vértice do quadrado (porque o ângulo interno do quadrado é 90^\circ e a diagonal o divide em dois ângulos iguais).

Passo 3

Calcular o comprimento da diagonal (hipotenusa do triângulo retângulo) usando o Teorema de Pitágoras. O Teorema de Pitágoras diz que, num triângulo retângulo com catetos de comprimentos a e b e hipotenusa c,
c^2 = a^2 + b^2.
Aqui a=1 e b=1, logo
c^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2,
portanto
c = \sqrt{2}.
Conclusão: a hipotenusa do triângulo retângulo formado pela diagonal mede \,\sqrt{2}\\ \text{cm}.

Passo 4

Definições das razões trigonométricas no triângulo retângulo (explicadas de forma prática):
  • O seno de um ângulo agudo é a razão entre o comprimento do cateto oposto ao ângulo e o comprimento da hipotenusa.
  • O cosseno de um ângulo agudo é a razão entre o comprimento do cateto adjacente ao ângulo e o comprimento da hipotenusa.
  • A tangente de um ângulo agudo é a razão entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento do cateto adjacente.
Escrevendo simbolicamente, para um ângulo \theta num triângulo retângulo com cateto oposto o, cateto adjacente a e hipotenusa h:
\sin\theta = \frac{o}{h},\qquad \cos\theta = \frac{a}{h},\qquad \tan\theta = \frac{o}{a}.

Passo 5

Aplicar as definições ao nosso triângulo de lados conhecidos. Para o ângulo \,45^\circ num dos triângulos formados pela diagonal:
  • cateto oposto o=1,
  • cateto adjacente a=1,
  • hipotenusa h=\sqrt{2}.
Calcular o seno:
\sin 45^\circ = \frac{o}{h} = \frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 6

Racionalizar o denominador (prática usual para escrever o resultado de forma mais limpa). Para \dfrac{1}{\sqrt{2}}, multiplica-se numerador e denominador por \sqrt{2}:
\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1\cdot\sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.
Portanto
\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 7

Calcular o cosseno da mesma maneira. Como o cateto adjacente também vale \,1, temos
\cos 45^\circ = \frac{a}{h} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}.

Passo 8

Calcular a tangente usando a razão entre catetos:
\tan 45^\circ = \frac{o}{a} = \frac{1}{1} = 1.
Intuitivamente: em um triângulo retângulo isósceles (dois catetos iguais), a tangente do ângulo formado por esses catetos é 1.

Resposta

\sin 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\cos 45^\circ = \dfrac{\sqrt{2}}{2}
\tan 45^\circ = 1

Exercícios relacionados