Exercício 12. Sobre uma rampa de 6 m de comprimento e inclinação de 30^{\circ} com a horizontal, devem-se construir degraus de altura 25 cm . Quantos degraus desse tipo serão construídos?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Comprimento da rampa (hipotenusa do triângulo): L=6\\ \text{m}.
  • Inclinação com a horizontal: \theta=30^\circ.
  • Altura de cada degrau: 25\\ \text{cm}.
  • Pergunta: quantos degraus desse tipo serão construídos ao longo da rampa?

Passo 2

Modelagem geométrica e fórmula a usar (explicação didática):
  • A rampa forma um triângulo retângulo onde L é a hipotenusa e a altura total h (o desnível vertical entre o início e o fim da rampa) é o cateto oposto ao ângulo \theta.
  • Em um triângulo retângulo, a razão seno do ângulo é definida por
\sin\theta=\frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}.
  • Logo, a altura total h relaciona-se com L e \theta por
h=L\sin\theta.
Aqui:
  • h é a altura vertical total (em metros),
  • L é o comprimento da rampa (em metros),
  • \theta é o ângulo de inclinação.

Passo 3

Calcular a altura total h usando \sin 30^\circ:
  • Sabe-se que
\sin 30^\circ=\frac{1}{2}.
  • Então
h=L\sin\theta=6\cdot\sin 30^\circ=6\cdot\frac{1}{2}=3\\ (\text{m}).
Portanto o desnível vertical total da rampa é h=3\\ \text{m}.

Passo 4

Converter a altura de cada degrau para metros (explicação de unidades):
  • Como 1\\ \text{m}=100\\ \text{cm}, temos
25\\ \text{cm}=\frac{25}{100}\\ \text{m}=0,25\\ \text{m}.
Logo cada degrau tem altura 0,25\\ \text{m}.

Passo 5

Calcular o número de degraus (divisão inteira/exata) e explicar o raciocínio:
  • O número de degraus n é a razão entre a altura total e a altura de cada degrau:
n=\frac{h}{\text{altura do degrau}}=\frac{3}{0,25}.
  • Fazer a divisão: 0,25 é igual a \tfrac{1}{4}, então
\frac{3}{0,25}=\frac{3}{\tfrac{1}{4}}=3\cdot 4=12.
  • Como o resultado é um número inteiro, os degraus de 25\\ \text{cm} encaixam-se exatamente ao longo da rampa, sem sobra.

Resposta

12 degraus.

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