Exercício 1. A Recíproca do Teorema de Pitágoras, enuncia que:
“se as medidas dos três lados de um triângulo qualquer satisfazem a fórmula a^{2}=b^{2}+c^{2}, então esse triângulo é retângulo”.
Dentre os ternos ( a, b, c ) de números inteiros listados, com a<b<c, qual(is) dele(s) poderiam ser lados de triângulo(s) retângulo(s)?
a) (5,12,13).
b) (8,15,17).
c) (7,24,25).
d) (12,35,37).
e) (11,60,61).
f) (20,21,29).
g) (9,40,41).

Passo 1

O enunciado pede: dentre os ternos de inteiros dados, com a<b<c, quais deles poderiam ser os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo?
Os ternos fornecidos são:
  • (a) \,(5,12,13)
  • (b) \,(8,15,17)
  • (c) \,(7,24,25)
  • (d) \,(12,35,37)
  • (e) \,(11,60,61)
  • (f) \,(20,21,29)
  • (g) \,(9,40,41)

Passo 2

Como testar se um terno (a,b,c) com a<b<c pode ser lados de um triângulo retângulo: em um triângulo retângulo os dois lados menores são os catetos e o maior é a hipotenusa. O Teorema de Pitágoras diz que, se os catetos valem a e b e a hipotenusa vale c, então
c^{2}=a^{2}+b^{2}.
Portanto, para cada terno dado vamos calcular a^{2}+b^{2} e comparar com c^{2}. Se forem iguais, o terno é um triplo pitagórico e pode ser lados de um triângulo retângulo. Vou mostrar passo a passo as contas de cada terno.

Passo 3

Teste do item (a) \,(5,12,13).
Calcular a^{2}+b^{2}:
5^{2}+12^{2}=25+144=169.
Calcular c^{2}:
13^{2}=169.
Como 5^{2}+12^{2}=13^{2}, o terno satisfaz a relação pitagórica. Logo, (5,12,13) pode ser lados de um triângulo retângulo.

Passo 4

Teste do item (b) \,(8,15,17).
Calcular a^{2}+b^{2}:
8^{2}+15^{2}=64+225=289.
Calcular c^{2}:
17^{2}=289.
Como 8^{2}+15^{2}=17^{2}, o terno satisfaz a relação pitagórica. Logo, (8,15,17) pode ser lados de um triângulo retângulo.

Passo 5

Teste do item (c) \,(7,24,25).
Calcular a^{2}+b^{2}:
7^{2}+24^{2}=49+576=625.
Calcular c^{2}:
25^{2}=625.
Como 7^{2}+24^{2}=25^{2}, o terno satisfaz a relação pitagórica. Logo, (7,24,25) pode ser lados de um triângulo retângulo.

Passo 6

Teste do item (d) \,(12,35,37).
Calcular a^{2}+b^{2}:
12^{2}+35^{2}=144+1225=1369.
Calcular c^{2}:
37^{2}=1369.
Como 12^{2}+35^{2}=37^{2}, o terno satisfaz a relação pitagórica. Logo, (12,35,37) pode ser lados de um triângulo retângulo.

Passo 7

Teste do item (e) \,(11,60,61).
Calcular a^{2}+b^{2}:
11^{2}+60^{2}=121+3600=3721.
Calcular c^{2}:
61^{2}=3721.
Como 11^{2}+60^{2}=61^{2}, o terno satisfaz a relação pitagórica. Logo, (11,60,61) pode ser lados de um triângulo retângulo.

Passo 8

Teste do item (f) \,(20,21,29).
Calcular a^{2}+b^{2}:
20^{2}+21^{2}=400+441=841.
Calcular c^{2}:
29^{2}=841.
Como 20^{2}+21^{2}=29^{2}, o terno satisfaz a relação pitagórica. Logo, (20,21,29) pode ser lados de um triângulo retângulo.

Passo 9

Teste do item (g) \,(9,40,41).
Calcular a^{2}+b^{2}:
9^{2}+40^{2}=81+1600=1681.
Calcular c^{2}:
41^{2}=1681.
Como 9^{2}+40^{2}=41^{2}, o terno satisfaz a relação pitagórica. Logo, (9,40,41) pode ser lados de um triângulo retângulo.

Resposta

a) (5,12,13)
b) (8,15,17)
c) (7,24,25)
d) (12,35,37)
e) (11,60,61)
f) (20,21,29)
g) (9,40,41)

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