Exercício 8. Definindo a \operatorname{sec} x=\frac{1}{\cos x}, demonstre, a partir da relação fundamental da trigonometria, que
\operatorname{tg}^{2} x+1=\operatorname{sec} ^{2} x

Passo 1

O enunciado pede que se demonstre a identidade
\operatorname{tg}^{2} x+1=\operatorname{sec}^{2} x
sabendo que \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e partindo da relação fundamental da trigonometria. Informações relevantes fornecidas:
  • A definição dada: \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}.
  • A relação fundamental da trigonometria (a ser usada): \sin^{2}x+\cos^{2}x=1.
  • A tarefa: provar a igualdade \operatorname{tg}^{2} x+1=\operatorname{sec}^{2} x.

Passo 2

Definições e domínio (passo importante antes de manipular fórmulas).
  • A tangente é definida por
\operatorname{tg} x=\dfrac{\sin x}{\cos x},
desde que \cos x\neq 0 (porque não se pode dividir por zero).
  • A secante, conforme dado, é
\operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x},
também definida apenas quando \cos x\neq 0.
Observação: quando escrever \sin^{2}x ou \cos^{2}x significa (\sin x)^{2} e (\cos x)^{2}.

Passo 3

Apresentar a relação fundamental e sua origem (de forma simples).
A relação
\sin^{2}x+\cos^{2}x=1
vem da definição das funções seno e cosseno no círculo trigonométrico (ou da identidade pitagórica) e vale para todo x. Esta é a identidade de partida que o enunciado pede para usar.

Passo 4

Preparar a manipulação algébrica: dividir a identidade por \cos^{2}x.
Como queremos aparecer \operatorname{tg}^{2}x (que envolve \sin x/\cos x) e \operatorname{sec}^{2}x (que envolve 1/\cos^{2}x), é natural dividir a relação \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 por \cos^{2}x. Essa divisão é permitida desde que \cos x\neq 0. Fazendo isso:
\frac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}+\frac{\cos^{2}x}{\cos^{2}x}=\frac{1}{\cos^{2}x}.

Passo 5

Simplificar cada termo após a divisão.
  • \dfrac{\sin^{2}x}{\cos^{2}x}=\Bigl(\dfrac{\sin x}{\cos x}\Bigr)^{2}=\operatorname{tg}^{2}x.
  • \dfrac{\cos^{2}x}{\cos^{2}x}=1.
  • \dfrac{1}{\cos^{2}x}=\bigl(\dfrac{1}{\cos x}\bigr)^{2}=\operatorname{sec}^{2}x (pela definição de \operatorname{sec} x).
    Substituindo essas simplificações na igualdade do Passo 4 obtemos
\operatorname{tg}^{2}x+1=\operatorname{sec}^{2}x,
que é exatamente a identidade a ser demonstrada.

Passo 6

Verificação numérica rápida (exemplo concreto para fixar a ideia).
Escolhendo x=\dfrac{\pi}{4} (ou 45^\circ), temos \sin x=\dfrac{\sqrt{2}}{2} e \cos x=\dfrac{\sqrt{2}}{2}. Então
\operatorname{tg}x=\dfrac{\sin x}{\cos x}=1\quad\Rightarrow\quad \operatorname{tg}^{2}x+1=1^{2}+1=2,
e
\operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}=\dfrac{1}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\sqrt{2}\quad\Rightarrow\quad \operatorname{sec}^{2}x=(\sqrt{2})^{2}=2.
Ambos os lados dão 2, confirmando a identidade nesse caso concreto.

Passo 7

Conclusão final e observações sobre o domínio.
A identidade \operatorname{tg}^{2}x+1=\operatorname{sec}^{2}x foi obtida diretamente da relação fundamental \sin^{2}x+\cos^{2}x=1 ao dividir por \cos^{2}x e usar as definições de \operatorname{tg}x e \operatorname{sec} x. Ela vale para todo x tal que \cos x\neq 0 (ou seja, onde \operatorname{tg}x e \operatorname{sec} x estão definidos). Força aí — essa é uma das identidades trigonométricas que mais aparecem em provas!

Resposta

\operatorname{tg}^{2} x+1=\operatorname{sec}^{2} x

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