Exercício 8. Definindo a
, demonstre, a partir da relação fundamental da trigonometria, que
Passo 1
O enunciado pede que se demonstre a identidade
sabendo que
e partindo da relação fundamental da trigonometria. Informações relevantes fornecidas:
- A definição dada:
. - A relação fundamental da trigonometria (a ser usada):
. - A tarefa: provar a igualdade
.
Passo 2
Definições e domínio (passo importante antes de manipular fórmulas).
- A tangente é definida por
desde que
(porque não se pode dividir por zero).
- A secante, conforme dado, é
também definida apenas quando
.
Observação: quando escrever ou
significa
e
.
Observação: quando escrever
Passo 3
Apresentar a relação fundamental e sua origem (de forma simples).
A relação
A relação
vem da definição das funções seno e cosseno no círculo trigonométrico (ou da identidade pitagórica) e vale para todo
. Esta é a identidade de partida que o enunciado pede para usar.
Passo 4
Preparar a manipulação algébrica: dividir a identidade por
.
Como queremos aparecer (que envolve
) e
(que envolve
), é natural dividir a relação
por
. Essa divisão é permitida desde que
. Fazendo isso:
Como queremos aparecer
Passo 5
Simplificar cada termo após a divisão.
-
. -
. -
(pela definição de ).
Substituindo essas simplificações na igualdade do Passo 4 obtemos
que é exatamente a identidade a ser demonstrada.
Passo 6
Verificação numérica rápida (exemplo concreto para fixar a ideia).
Escolhendo (ou
), temos
e
. Então
Escolhendo
e
Ambos os lados dão
, confirmando a identidade nesse caso concreto.
Passo 7
Conclusão final e observações sobre o domínio.
A identidade foi obtida diretamente da relação fundamental
ao dividir por
e usar as definições de
e
. Ela vale para todo
tal que
(ou seja, onde
e
estão definidos). Força aí — essa é uma das identidades trigonométricas que mais aparecem em provas!
A identidade