Exercício 1.4.7. Quantos inteiros no intervalo de 1 até 1000 não são divisíveis nem por 3, nem por 5 e nem por 7?
Passo 1
O enunciado pede quantos inteiros em
não são divisíveis por 3, por 5 e por 7. O conteúdo aqui é o Princípio da Inclusão-Exclusão para conjuntos de múltiplos. Vamos precisar contar quantos números são múltiplos de cada um desses divisores, depois de pares deles e do trio, e então aplicar a fórmula.
Passo 2
Contamos os múltiplos individuais em
:
- Múltiplos de 3:
. - Múltiplos de 5:
. - Múltiplos de 7:
.
Passo 3
Agora os múltiplos de cada par, usando o mmc:
- mmc
, múltiplos de 15: . - mmc
, múltiplos de 21: . - mmc
, múltiplos de 35: .
Passo 4
Finalmente, os múltiplos de todos os três, mmc
:
Passo 5
Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, o total de números divisíveis por pelo menos um dos três é
Passo 6
Como há 1000 números de
a
, os que não são divisíveis por nenhum de 3, 5 ou 7 valem