Exercício 1.4.7. Quantos inteiros no intervalo de 1 até 1000 não são divisíveis nem por 3, nem por 5 e nem por 7?

Passo 1

O enunciado pede quantos inteiros em 1,2,dots,1000 não são divisíveis por 3, por 5 e por 7. O conteúdo aqui é o Princípio da Inclusão-Exclusão para conjuntos de múltiplos. Vamos precisar contar quantos números são múltiplos de cada um desses divisores, depois de pares deles e do trio, e então aplicar a fórmula.

Passo 2

Contamos os múltiplos individuais em 1,dots,1000:
  • Múltiplos de 3: lfloor10003rfloor = 333.
  • Múltiplos de 5: lfloor10005rfloor = 200.
  • Múltiplos de 7: lfloor10007rfloor = 142.

Passo 3

Agora os múltiplos de cada par, usando o mmc:
  • mmc (3,5)=15, múltiplos de 15: lfloor100015rfloor = 66.
  • mmc (3,7)=21, múltiplos de 21: lfloor100021rfloor = 47.
  • mmc (5,7)=35, múltiplos de 35: lfloor100035rfloor = 28.

Passo 4

Finalmente, os múltiplos de todos os três, mmc (3,5,7)=105:
lfloor1000105rfloor = 9

Passo 5

Pelo Princípio da Inclusão-Exclusão, o total de números divisíveis por pelo menos um dos três é
333 + 200 + 142 - (66 + 47 + 28) + 9 = 675 - 141 + 9 = 543

Passo 6

Como há 1000 números de 1 a 1000, os que não são divisíveis por nenhum de 3, 5 ou 7 valem
1000 - 543 = 457

Resposta

457

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