Exercício 1.4.9. Um clube de poliglotas tem 400 membros, no qual todos falam, fluentemente pelo menos uma língua além do português. Desse clube, sabe-se que 40 associados falam inglês e francês, 20% dos membros que falam alemão falam também francês, o número dos que falam essas duas linguas é um terço dos que falam alemão e inglês, e ainda, 22 membros falam apenas alemão e 1% dos associados do clube falam as três línguas. Sabendo-se que apenas 10 associados não falam nenhuma destas três línguas, determine o número de membros que:
(a) Falam alemão;
(b) Falam exatamente duas dessas línguas;
(c) Falam inglês ou francês;
(d) Falam inglês ou francês mas não alemão.

Passo 1

O enunciado fornece N=400 associados e define os conjuntos
,E = fala inglês,
,F = fala francês,
,A = fala alemão.
Sabemos:
1. lvert Ecap Frvert=40.
2. 20% de quem fala alemão também fala francês, isto é lvert Acap Frvert=0,2,lvert Arvert.
3. lvert Acap Frvert é um terço de lvert Acap Ervert, logo lvert Acap Frvert=tfrac13lvert Acap Ervert.
4. lvert Asetminus(Ecup F)rvert=22 (quem fala apenas alemão).
5. 1% dos associados fala as três línguas, logo lvert Ecap Fcap Arvert=0,01cdot400=4.
6. Apenas 10 não falam nenhuma dessas três línguas, logo lvert Ecup Fcup Arvert=400-10=390.
Para resolver, usaremos a fórmula de inclusão–exclusão e relações entre interseções.

Passo 2

Das condições sobre interseções de A:
lvert Acap Frvert=0,2,lvert Arvert e lvert Acap Frvert=tfrac13,lvert Acap Ervert
Logo
lvert Acap Ervert = 3,lvert Acap Frvert = 3cdot0,2,lvert Arvert = 0,6,lvert Arvert
Quem fala apenas alemão vale
lvert Asetminus(Ecup F)rvert = lvert Arvert - l(lvert Acap Ervert + lvert Acap Frvert - lvert Ecap Fcap Arvertr) = lvert Arvert - (0,6lvert Arvert + 0,2lvert Arvert - 4) =0,2,lvert Arvert +4
E isto é dado como 22, logo
0,2,lvert Arvert +4 = 22

Passo 3

Resolvendo para lvert Arvert:
0,2,lvert Arvert = 18 Longrightarrow lvert Arvert = 90

Passo 4

Com lvert Arvert=90, temos
lvert Acap Frvert = 0,2cdot90 = 18, lvert Acap Ervert = 0,6cdot90 = 54

Passo 5

Aplicando inclusão–exclusão em Ecup Fcup A:
390 = lvert Ecup Fcup Arvert = lvert Ervert + lvert Frvert + lvert Arvert -l(lvert Ecap Frvert + lvert Ecap Arvert + lvert Acap Frvertr) + lvert Ecap Fcap Arvert
Substituindo valores:
390 = lvert Ervert + lvert Frvert + 90 - (40 + 54 + 18) + 4 = lvert Ervert + lvert Frvert -18
Logo
lvert Ervert + lvert Frvert = 408

Passo 6

O número de que falam exatamente duas línguas é
l(lvert Ecap Frvert - lvert Ecap Fcap Arvertr) + l(lvert Ecap Arvert - 4r) + l(lvert Acap Frvert - 4r) = (40-4) + (54-4) + (18-4) = 36 + 50 + 14 = 100

Passo 7

O total que fala inglês ou francês é
lvert Ecup Frvert = lvert Ervert + lvert Frvert - lvert Ecap Frvert = 408 - 40 = 368

Passo 8

Finalmente, quem fala inglês ou francês mas não alemão é
lvert(Ecup F)setminus Arvert = lvert Ecup Frvert - lvert (Ecup F)cap Arvert
Como
lvert (Ecup F)cap Arvert = lvert Acap Ervert + lvert Acap Frvert - lvert Ecap Fcap Arvert = 54 + 18 - 4 = 68,
temos
lvert(Ecup F)setminus Arvert = 368 - 68 = 300

Resposta

(a) 90
(b) 100
(c) 368
(d) 300

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