Exercício 1.4.9. Um clube de poliglotas tem 400 membros, no qual todos falam, fluentemente pelo menos uma língua além do português. Desse clube, sabe-se que 40 associados falam inglês e francês, 20% dos membros que falam alemão falam também francês, o número dos que falam essas duas linguas é um terço dos que falam alemão e inglês, e ainda, 22 membros falam apenas alemão e 1% dos associados do clube falam as três línguas. Sabendo-se que apenas 10 associados não falam nenhuma destas três línguas, determine o número de membros que:
(a) Falam alemão;
(b) Falam exatamente duas dessas línguas;
(c) Falam inglês ou francês;
(d) Falam inglês ou francês mas não alemão.
(a) Falam alemão;
(b) Falam exatamente duas dessas línguas;
(c) Falam inglês ou francês;
(d) Falam inglês ou francês mas não alemão.
Passo 1
O enunciado fornece
associados e define os conjuntos
fala inglês,
fala francês,
fala alemão.
Sabemos:
.
.
.
de quem fala alemão também fala francês, isto é
.
.
é um terço de
, logo
.
.
(quem fala apenas alemão).
.
dos associados fala as três línguas, logo
.
. Apenas
não falam nenhuma dessas três línguas, logo
.
Para resolver, usaremos a fórmula de inclusão–exclusão e relações entre interseções.
Sabemos:
Para resolver, usaremos a fórmula de inclusão–exclusão e relações entre interseções.
Passo 2
Das condições sobre interseções de
:
Logo
Quem fala apenas alemão vale
E isto é dado como
, logo
Passo 3
Resolvendo para
:
Passo 4
Com
, temos
Passo 5
Aplicando inclusão–exclusão em
:
Substituindo valores:
Logo
Passo 6
O número de que falam exatamente duas línguas é
Passo 7
O total que fala inglês ou francês é
Passo 8
Finalmente, quem fala inglês ou francês mas não alemão é
Como
temos
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)