Exercício 5.10 Nos problemas a seguir, calcule:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a inversa da transformada de Laplace
Informações relevantes dadas:
- A expressão no domínio de
é . - Queremos a função no tempo
cuja transformada de Laplace é essa expressão.
Nada mais foi fornecido.
Passo 2
Lembrete de ferramentas que vou usar (explicadinho, devagarzinho):
- Linearidade da transformada de Laplace: se
e , então
- Deslocamento no eixo
(teorema do fator exponencial): se então . - Transformada conhecida (muito útil): para
inteiro não negativo,
Aqui cada variável significa:
-
é a variável de tempo, -
é a variável da transformada, -
é o deslocamento exponencial, -
é o fatorial de .
Da fórmula acima segue a fórmula inversa útil:
Passo 3
Plano prático: transformar a fração dada em termos de potências de
, porque a fórmula acima envolve
. Para isso é conveniente reescrever o numerador
em termos de
.
Passo 4
Fazer a álgebra no numerador: escrever
como múltiplo de
mais constante.
Substituindo na razão original:
Passo 5
Separar a fração em duas parcelas usando linearidade:
Simplificando cada termo:
Portanto
Passo 6
Aplicar as correspondências inversas termo a termo usando a fórmula
Para o primeiro termo:
tem
e
, logo
Multiplicando por
,
Para o segundo termo:
tem
e
, e como
,
Multiplicando por
,
Passo 7
Somar as duas partes obtidas (pela linearidade da transformada inversa):
Fatorando
para ficar mais bonito e prático na prova: