Exercício 5.10 Nos problemas a seguir, calcule:
\mathscr{L}^{-1}\left\{\frac{5 s}{(s-2)^{3}}\right\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a inversa da transformada de Laplace
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{5s}{(s-2)^{3}}\right\}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão no domínio de s é \dfrac{5s}{(s-2)^{3}}.
  • Queremos a função no tempo t cuja transformada de Laplace é essa expressão.
    Nada mais foi fornecido.

Passo 2

Lembrete de ferramentas que vou usar (explicadinho, devagarzinho):
  • Linearidade da transformada de Laplace: se F(s)=\mathscr{L}\{f(t)\} e G(s)=\mathscr{L}\{g(t)\}, então
\mathscr{L}\{a f(t)+b g(t)\} = a F(s) + b G(s).
  • Deslocamento no eixo s (teorema do fator exponencial): se \mathscr{L}\{f(t)\}=F(s) então \mathscr{L}\{e^{a t} f(t)\}=F(s-a).
  • Transformada conhecida (muito útil): para n inteiro não negativo,
\mathscr{L}\{t^{n} e^{a t}\}=\frac{n!}{(s-a)^{n+1}}.
Aqui cada variável significa:
  • t é a variável de tempo,
  • s é a variável da transformada,
  • a é o deslocamento exponencial,
  • n! é o fatorial de n.
Da fórmula acima segue a fórmula inversa útil:
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-a)^{n+1}}\right\}=\frac{t^{n} e^{a t}}{n!}.

Passo 3

Plano prático: transformar a fração dada em termos de potências de (s-2), porque a fórmula acima envolve (s-a)^{n+1}. Para isso é conveniente reescrever o numerador 5s em termos de (s-2).

Passo 4

Fazer a álgebra no numerador: escrever 5s como múltiplo de (s-2) mais constante.
5s = 5\bigl((s-2)+2\bigr)=5(s-2)+10.
Substituindo na razão original:
\frac{5s}{(s-2)^{3}}=\frac{5(s-2)+10}{(s-2)^{3}}.

Passo 5

Separar a fração em duas parcelas usando linearidade:
\frac{5(s-2)+10}{(s-2)^{3}}=\frac{5(s-2)}{(s-2)^{3}}+\frac{10}{(s-2)^{3}}.
Simplificando cada termo:
\frac{5(s-2)}{(s-2)^{3}}=\frac{5}{(s-2)^{2}}, \qquad \frac{10}{(s-2)^{3}}=\frac{10}{(s-2)^{3}}.
Portanto
\frac{5s}{(s-2)^{3}}=\frac{5}{(s-2)^{2}}+\frac{10}{(s-2)^{3}}.

Passo 6

Aplicar as correspondências inversas termo a termo usando a fórmula
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-a)^{n+1}}\right\}=\frac{t^{n} e^{a t}}{n!}.
Para o primeiro termo: \dfrac{1}{(s-2)^{2}} tem n=1 e a=2, logo
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-2)^{2}}\right\}=t e^{2t}.
Multiplicando por 5,
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{5}{(s-2)^{2}}\right\}=5t e^{2t}.
Para o segundo termo: \dfrac{1}{(s-2)^{3}} tem n=2 e a=2, e como 2!=2,
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{(s-2)^{3}}\right\}=\frac{t^{2} e^{2t}}{2}.
Multiplicando por 10,
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{10}{(s-2)^{3}}\right\}=10\cdot\frac{t^{2} e^{2t}}{2}=5 t^{2} e^{2t}.

Passo 7

Somar as duas partes obtidas (pela linearidade da transformada inversa):
\mathscr{L}^{-1}\!\left\{\frac{5s}{(s-2)^{3}}\right\}=5t e^{2t}+5 t^{2} e^{2t}.
Fatorando 5 e^{2t} t para ficar mais bonito e prático na prova:
5t e^{2t}+5 t^{2} e^{2t}=5 e^{2t} t(1+t).

Resposta

5 e^{2t} t(1+t)

Exercícios relacionados