Exercício 5.10 Nos problemas a seguir, calcule:
\mathscr{L}\left\{e^{-t} \sin ^{2} t\right\}

Passo 1

O enunciado pede calcular a transformada de Laplace da função dada para t\ge 0. Dados:
  • Função a transformar: \,f(t)=e^{-t}\sin^{2}t.
  • Objetivo: encontrar \mathscr{L}\{e^{-t}\sin^{2}t\}(s).

Passo 2

Plano de resolução (curtinho e claro): primeiro é mais fácil obter \mathscr{L}\{\sin^{2}t\} usando uma identidade trigonométrica simples; depois aplico a propriedade do deslocamento exponencial (teorema do deslocamento na variável s) para incluir o fator e^{-t}. Vou explicar cada fórmula que uso.

Passo 3

Lembrando definição e transformadas básicas úteis:
  • Definição: \displaystyle \mathscr{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}g(t)\,dt.
  • Transformadas padrão que vou usar: \mathscr{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},\qquad \mathscr{L}\{\cos at\}(s)=\frac{s}{s^{2}+a^{2}}.
Aqui s é a variável complexa do domínio da transformada e a é constante real (no nosso caso a=2 aparecerá por causa de \cos 2t).

Passo 4

Usar a identidade de ângulo duplo para \sin^{2}t:
\sin^{2}t=\frac{1-\cos 2t}{2}.
Então, pela linearidade da transformada,
\mathscr{L}\{\sin^{2}t\}(s)=\frac{1}{2}\mathscr{L}\{1\}(s)-\frac{1}{2}\mathscr{L}\{\cos 2t\}(s).
Substituindo as transformadas conhecidas:
\mathscr{L}\{\sin^{2}t\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{s}-\frac{1}{2}\cdot\frac{s}{s^{2}+4}.
Colocando em denominação comum e simplificando:
\mathscr{L}\{\sin^{2}t\}(s)=\frac{1}{2s}-\frac{s}{2(s^{2}+4)} =\frac{(s^{2}+4)-s^{2}}{2s(s^{2}+4)} =\frac{4}{2s(s^{2}+4)} =\frac{2}{s(s^{2}+4)}.

Passo 5

Agora a propriedade do deslocamento exponencial (teorema do deslocamento): se \mathscr{L}\{g(t)\}(s)=G(s), então
\mathscr{L}\{e^{at}g(t)\}(s)=G(s-a).
Justificativa rápida: \mathscr{L}\{e^{at}g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}g(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}g(t)\,dt=G(s-a).
No nosso caso a=-1 (pois temos e^{-t}=e^{(-1)t}), portanto
\mathscr{L}\{e^{-t}\sin^{2}t\}(s)=\mathscr{L}\{\sin^{2}t\}(s-(-1))=\mathscr{L}\{\sin^{2}t\}(s+1).

Passo 6

Substituir s por s+1 na expressão encontrada em para \mathscr{L}\{\sin^{2}t\}:
\mathscr{L}\{e^{-t}\sin^{2}t\}(s)=\frac{2}{(s+1)\big((s+1)^{2}+4\big)}.
Opcionalmente pode-se expandir o quadrado:
\mathscr{L}\{e^{-t}\sin^{2}t\}(s)=\frac{2}{(s+1)(s^{2}+2s+5)}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{(s+1)\big((s+1)^{2}+4\big)}

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