Exercício 5.10 Nos problemas a seguir, calcule:
Passo 1
O enunciado pede calcular a transformada de Laplace da função dada para
. Dados:
- Função a transformar:
- Objetivo: encontrar
Passo 2
Plano de resolução (curtinho e claro): primeiro é mais fácil obter
usando uma identidade trigonométrica simples; depois aplico a propriedade do deslocamento exponencial (teorema do deslocamento na variável
) para incluir o fator
. Vou explicar cada fórmula que uso.
Passo 3
Lembrando definição e transformadas básicas úteis:
- Definição:
- Transformadas padrão que vou usar:
Aqui
é a variável complexa do domínio da transformada e
é constante real (no nosso caso
aparecerá por causa de
).
Passo 4
Usar a identidade de ângulo duplo para
:
Então, pela linearidade da transformada,
Substituindo as transformadas conhecidas:
Colocando em denominação comum e simplificando:
Passo 5
Agora a propriedade do deslocamento exponencial (teorema do deslocamento): se
, então
Justificativa rápida:
No nosso caso
(pois temos
), portanto
Passo 6
Substituir
por
na expressão encontrada em
para
:
Opcionalmente pode-se expandir o quadrado: