Exercício 5.10 Nos problemas a seguir, calcule:
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular
.
Informações dadas: a função a transformar é . Não há outras informações adicionais no enunciado.
Informações dadas: a função a transformar é
Passo 2
Recordando a definição da transformada de Laplace e o que cada símbolo significa. A transformada de Laplace de uma função
(com
) é
onde
é uma variável complexa cuja parte real deve ser grande o suficiente para garantir convergência da integral. Neste problema
. A nossa meta é calcular essa integral ou usar propriedades da transformada para encontrar o resultado de forma mais prática.
Passo 3
Propriedade útil (produto por
): para funções adequadas vale
Explicação / demonstração curta e didática: começando da definição,
Podemos perceber que
portanto
Sob hipóteses que permitem trocar derivada e integral (caso usual em transformadas), isso dá
Então a propriedade está explicada: multiplicar por
no domínio do tempo corresponde a diferenciar com sinal negativo no domínio
.
Passo 4
Calcular primeiro
. Usar a identidade
Aplicando a definição (ou transformadas conhecidas) obtemos
Cada integral é uma integral exponencial convergente se
(essa condição vem da primeira integral). Calculando as integrais geométricas:
portanto
Colocando sobre um denominador comum:
com região de convergência
.
Passo 5
Aplicar a propriedade do Passo 3 com
. Denote
. Então
Calcule a derivada passo a passo:
Usando regra da cadeia,
Tomando o negativo:
A região de convergência permanece
(a diferenciação não alarga a região onde a transformada original converge).