Exercício 5.10 Nos problemas a seguir, calcule:
\mathscr{L}\left\{t \operatorname{sinh} 3 t\right\}

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular \mathscr{L}\{t \operatorname{sinh} 3t\}.
Informações dadas: a função a transformar é t \operatorname{sinh} 3t. Não há outras informações adicionais no enunciado.

Passo 2

Recordando a definição da transformada de Laplace e o que cada símbolo significa. A transformada de Laplace de uma função f(t) (com t\ge0) é
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} f(t)\,e^{-s t}\,dt,
onde s é uma variável complexa cuja parte real deve ser grande o suficiente para garantir convergência da integral. Neste problema f(t)=t\operatorname{sinh} 3t. A nossa meta é calcular essa integral ou usar propriedades da transformada para encontrar o resultado de forma mais prática.

Passo 3

Propriedade útil (produto por t): para funções adequadas vale
\mathscr{L}\{t f(t)\}(s) = -\frac{d}{ds}\Big(\mathscr{L}\{f(t)\}(s)\Big).
Explicação / demonstração curta e didática: começando da definição,
\mathscr{L}\{t f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} t f(t) e^{-s t}\,dt.
Podemos perceber que
\frac{d}{ds}\big( e^{-s t}\big) = -t e^{-s t},
portanto
\int_{0}^{\infty} t f(t) e^{-s t}\,dt = -\int_{0}^{\infty} f(t)\frac{d}{ds}\big(e^{-s t}\big)\,dt.
Sob hipóteses que permitem trocar derivada e integral (caso usual em transformadas), isso dá
-\frac{d}{ds}\int_{0}^{\infty} f(t)e^{-s t}\,dt = -\frac{d}{ds}\big(\mathscr{L}\{f(t)\}(s)\big).
Então a propriedade está explicada: multiplicar por t no domínio do tempo corresponde a diferenciar com sinal negativo no domínio s.

Passo 4

Calcular primeiro \mathscr{L}\{\operatorname{sinh} 3t\}. Usar a identidade
\operatorname{sinh} 3t=\frac{e^{3t}-e^{-3t}}{2}.
Aplicando a definição (ou transformadas conhecidas) obtemos
\mathscr{L}\{\operatorname{sinh} 3t\}(s)=\frac{1}{2}\left(\int_{0}^{\infty} e^{-(s-3)t}\,dt - \int_{0}^{\infty} e^{-(s+3)t}\,dt\right).
Cada integral é uma integral exponencial convergente se \Re(s)>3 (essa condição vem da primeira integral). Calculando as integrais geométricas:
\int_{0}^{\infty} e^{-(s-3)t}\,dt=\frac{1}{s-3},\qquad \int_{0}^{\infty} e^{-(s+3)t}\,dt=\frac{1}{s+3},
portanto
\mathscr{L}\{\operatorname{sinh} 3t\}(s)=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{s-3}-\frac{1}{s+3}\right).
Colocando sobre um denominador comum:
\mathscr{L}\{\operatorname{sinh} 3t\}(s)=\frac{1}{2}\cdot\frac{(s+3)-(s-3)}{s^2-9}=\frac{3}{s^2-9},
com região de convergência \Re(s)>3.

Passo 5

Aplicar a propriedade do Passo 3 com f(t)=\operatorname{sinh} 3t. Denote F(s)=\mathscr{L}\{\operatorname{sinh} 3t\}(s)=\dfrac{3}{s^2-9}. Então
\mathscr{L}\{t\operatorname{sinh} 3t\}(s) = -\frac{d}{ds}F(s).
Calcule a derivada passo a passo:
F(s)=3\,(s^2-9)^{-1}.
Usando regra da cadeia,
\frac{d}{ds}F(s)=3\cdot(-1)(s^2-9)^{-2}\cdot 2s = -\frac{6s}{(s^2-9)^2}.
Tomando o negativo:
-\frac{d}{ds}F(s)= -\left(-\frac{6s}{(s^2-9)^2}\right)=\frac{6s}{(s^2-9)^2}.
A região de convergência permanece \Re(s)>3 (a diferenciação não alarga a região onde a transformada original converge).

Resposta

\displaystyle \mathscr{L}\{t\operatorname{sinh} 3t\}(s)=\frac{6s}{(s^2-9)^2},\qquad \Re(s)>3

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