Exercício 5.10 Nos problemas a seguir, calcule:
Passo 1
O enunciado pede: calcular
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- A função a transformar é
. - A transformada de Laplace é solicitada (não há mais dados ou figura).
Passo 2
Primeira ideia prática (identidade trigonométrica simples que facilita muito): usar a identidade
Aqui
, logo
Essa identidade transforma um quadrado de cosseno numa soma de termos mais fáceis de transformar.
Passo 3
Aplicando a identidade ao integrando:
Então a transformada é a soma (pela linearidade) das transformadas desses dois termos multiplicadas por
.
Passo 4
Lembrete da definição e de uma propriedade útil:
- Definição:
, quando a integral converge. - Linearidade:
. - Teorema de deslocamento no domínio de
(shift): se então . Aqui é um número (no nosso caso ).
Vou usar essas propriedades em vez de calcular integrais impraticáveis na prova.
Passo 5
Transformada do primeiro termo
:
- Sabendo que
(para ), aplicando o deslocamento com obtemos (válida para ). - Multiplicando por
:
Passo 6
Transformada do segundo termo
:
- Primeiro a transformada (padrão) de
é , válida para . - Para
temos . - Aplicando o deslocamento com
: , válida para , ou seja . - Multiplicando por
:
Passo 7
Somando as duas parcelas (linearidade), obtemos a transformada total:
com região de convergência
. Esta forma é perfeitamente válida para usar na prova; se for necessário dar uma única fração racional, faz-se a soma algébrica e simplifica-se.