Exercício 5.10 Nos problemas a seguir, calcule:
\mathscr{L}\left\{e^{t} \cos ^{2} 3 t\right\}

Passo 1

O enunciado pede: calcular \mathscr{L}\{e^{t}\cos^{2}3t\}.
Informações dadas:
  • A função a transformar é f(t)=e^{t}\cos^{2}3t.
  • A transformada de Laplace é solicitada (não há mais dados ou figura).

Passo 2

Primeira ideia prática (identidade trigonométrica simples que facilita muito): usar a identidade
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
Aqui \theta=3t, logo
\cos^{2}3t=\frac{1+\cos 6t}{2}.
Essa identidade transforma um quadrado de cosseno numa soma de termos mais fáceis de transformar.

Passo 3

Aplicando a identidade ao integrando:
e^{t}\cos^{2}3t = e^{t}\cdot\frac{1+\cos 6t}{2} = \frac{1}{2}e^{t} + \frac{1}{2}e^{t}\cos 6t.
Então a transformada é a soma (pela linearidade) das transformadas desses dois termos multiplicadas por \tfrac{1}{2}.

Passo 4

Lembrete da definição e de uma propriedade útil:
  • Definição: \displaystyle \mathscr{L}\{g(t)\}=\int_{0}^{\infty}e^{-st}g(t)\,dt, quando a integral converge.
  • Linearidade: \mathscr{L}\{a\,g_1(t)+b\,g_2(t)\}=a\,\mathscr{L}\{g_1(t)\}+b\,\mathscr{L}\{g_2(t)\}.
  • Teorema de deslocamento no domínio de s (shift): se \mathscr{L}\{h(t)\}=H(s) então \mathscr{L}\{e^{at}h(t)\}=H(s-a). Aqui a é um número (no nosso caso a=1).
Vou usar essas propriedades em vez de calcular integrais impraticáveis na prova.

Passo 5

Transformada do primeiro termo \tfrac{1}{2}e^{t}:
  • Sabendo que \mathscr{L}\{1\}=\dfrac{1}{s} (para \mathrm{Re}(s)>0), aplicando o deslocamento com a=1 obtemos \mathscr{L}\{e^{t}\}=\dfrac{1}{s-1} (válida para \mathrm{Re}(s)>1).
  • Multiplicando por \tfrac{1}{2}:
\mathscr{L}\!\left\{\tfrac{1}{2}e^{t}\right\}=\tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{s-1}.

Passo 6

Transformada do segundo termo \tfrac{1}{2}e^{t}\cos 6t:
  • Primeiro a transformada (padrão) de \cos \omega t é \mathscr{L}\{\cos \omega t\}=\dfrac{s}{s^{2}+\omega^{2}}, válida para \mathrm{Re}(s)>0.
  • Para \omega=6 temos \mathscr{L}\{\cos 6t\}=\dfrac{s}{s^{2}+36}.
  • Aplicando o deslocamento com a=1: \mathscr{L}\{e^{t}\cos 6t\}=\dfrac{s-1}{(s-1)^{2}+36}, válida para \mathrm{Re}(s-1)>0, ou seja \mathrm{Re}(s)>1.
  • Multiplicando por \tfrac{1}{2}:
\mathscr{L}\!\left\{\tfrac{1}{2}e^{t}\cos 6t\right\}=\tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{s-1}{(s-1)^{2}+36}.

Passo 7

Somando as duas parcelas (linearidade), obtemos a transformada total:
\mathscr{L}\{e^{t}\cos^{2}3t\}=\tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{1}{s-1}+\tfrac{1}{2}\cdot\dfrac{s-1}{(s-1)^{2}+36},
com região de convergência \mathrm{Re}(s)>1. Esta forma é perfeitamente válida para usar na prova; se for necessário dar uma única fração racional, faz-se a soma algébrica e simplifica-se.

Resposta

\mathscr{L}\{e^{t}\cos^{2}3t\}=\dfrac{(s-1)^{2}+18}{(s-1)\big((s-1)^{2}+36\big)},\qquad \mathrm{Re}(s)>1.

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