Exercício 5.10 Nos problemas a seguir, calcule: \mathscr{L}\left\{t e^{-6 t}\right\}
Passo 1
O enunciado pede que se calcule a transformada de Laplace da função
t e^{-6 t}.
Não há outros dados no enunciado: a função é definida para t\ge 0 e a tarefa é encontrar \mathscr{L}\{t e^{-6 t}\}.
Passo 2
Lembrete da definição da transformada de Laplace e do que cada símbolo significa.
A transformada de Laplace de uma função f(t) (para t\ge 0) é definida por
onde s é uma variável complexa e a integral converge para valores de s em uma região onde o integrando decai suficientemente rápido.
Também é útil lembrar duas propriedades básicas (explicadas em linguagem simples):
Transformada de potência: para n inteiro não negativo,
\mathscr{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}},
desde que \operatorname{Re}(s)>0 quando aplicável. No caso n=1 obtemos
\mathscr{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}}.
Teorema do deslocamento exponencial (shift): se \mathscr{L}\{f(t)\}(s)=F(s) então, para qualquer constante a,
\mathscr{L}\{e^{a t}f(t)\}(s)=F(s-a).
Aqui a pode ser negativo; o efeito é substituir s por s-a na transformada de f.
Passo 3
Aplicando o teorema do deslocamento exponencial de forma direta (método rápido e seguro para provas).
Tomamos f(t)=t. Sabemos que
\mathscr{L}\{t\}(s)=\frac{1}{s^{2}}.
Na nossa função temos t e^{-6 t}=e^{a t}f(t) com a=-6. Pelo teorema do deslocamento:
O termo \left.-\dfrac{t}{\alpha}e^{-\alpha t}\right|_{0}^{\infty} vale 0-0=0 porque e^{-\alpha t} decai mais rápido que t cresce quando \operatorname{Re}(\alpha)>0. A outra integral é