Exercício 5.8 Mostre que
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a identidade
Informações e hipóteses implícitas que vou usar (peguei estas da forma usual da transformada de Laplace):
- Suponha que exista uma função
tal que
para
(algum
).
- Admito que
é de ordem exponencial (ou seja, existem constantes e tais que para grande), condição que garante convergência e permite diferenciar sob o sinal de integral para . - O que se pede: provar a igualdade acima, isto é, expressar
em termos da transformada inversa de .
Passo 2
Lembrando a definição e uma propriedade básica. Definição da transformada de Laplace (tudo em TeX):
A ideia será calcular
a partir dessa integral e identificar o que é essa derivada em termos de transformadas de Laplace. Para isso vou usar a operação de derivar em relação a
por dentro da integral (diferenciação sob o sinal de integral).
Passo 3
Diferenciação sob o sinal de integral. Calculo formal:
Como
, obtemos
Passo 4
Justificando a troca derivada–integral. Preciso garantir que é permitido trazer a derivada para dentro da integral. A hipótese de ordem exponencial fornece uma cota do tipo
. Para
tem-se
A função
é integrável em
quando
. Portanto a desigualdade dominante permite aplicar o teorema da convergência dominada (ou resultados equivalentes de diferenciação sob o sinal de integral) e justificar rigorosamente a passagem da derivada para dentro da integral para
.
Passo 5
Reconhecendo a transformada de Laplace. A expressão obtida em
do Passo 3 é (note o sinal menos)
Assim temos a identidade de transformadas
Passo 6
Aplicando a transformada inversa e isolando
. Agora aplico
aos dois lados da igualdade do Passo 5:
Finalmente, desde que
, divido por
para obter
Mas
, logo chegamos exatamente à identidade solicitada.
Passo 7
Um exemplo rápido para fixar a ideia. Tome
. Então
A derivada é
A transformada inversa de
é
Logo
confirmando a identidade no caso concreto.