Exercício 5.9 Dê exemplo de duas funções f(t) e g(t), diferentes entre si, tais que
\mathscr{L}\{f(t)\}=\mathscr{L}\{g(t)\} .

Passo 1

O enunciado pede que eu dê um exemplo concreto de duas funções f(t) e g(t), diferentes entre si, tais que suas transformadas de Laplace coincidam:
\mathscr{L}\{f(t)\}=\mathscr{L}\{g(t)\}.
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas):
  • Preciso fornecer duas funções definidas em t\ge 0 (ou, pelo menos, em [0,\infty)).
  • As funções devem ser diferentes ponto a ponto (isto é, não podem ser idênticas como funções).
  • A igualdade exigida é entre as transformadas de Laplace das duas funções.

Passo 2

Vou lembrar e explicar o que é a transformada de Laplace: por definição, para uma função h(t) (integrável ou adequadamente comportada) a transformada de Laplace é
\mathscr{L}\{h(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,h(t)\,dt,
onde s é um número real ou complexo com parte real grande o suficiente para garantir convergência. Aqui t é a variável de integração no intervalo [0,\infty) e s é o parâmetro da transformada. O ponto importante para este exercício: a integral definida acima não “vê” o valor de h(t) num conjunto de medida zero (por exemplo, num único ponto t=0), porque mudar o valor de h em um ponto não altera o valor da integral.
Explicando de forma bem direta: se duas funções diferem apenas em um conjunto com medida nula (p.ex., em um ponto isolado), então suas integrais sobre [0,\infty) são as mesmas, logo as transformadas de Laplace coincidem.

Passo 3

Com base nisso, uma construção simples é escolher duas funções que sejam iguais em todo lugar, exceto em [t=0). Essas serão claramente diferentes como funções (pois têm valores distintos em t=0), mas terão a mesma transformada de Laplace.
Apresento uma escolha muito simples:
f(t)\equiv 0\quad\text{para todo }t\ge 0,
g(t)=\begin{cases} 1,& t=0,\\[4pt] 0,& t>0. \end{cases}
Aqui f\] é a função zero e \(g é idêntica a zero para todo t>0 mas assume o valor 1 em t=0. Essas duas funções são diferentes porque f(0)=0 e g(0)=1.]

Passo 4

Agora calculo explicitamente as transformadas de Laplace das duas funções para mostrar que coincidem.
Para f:
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cdot 0\,dt=0.
Para g:
\mathscr{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,g(t)\,dt.
Mas g(t)=0 para todo t>0. O valor de g em t=0 não altera a integral (um ponto isolado tem medida zero). Portanto a integral é
\mathscr{L}\{g(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\cdot 0\,dt=0.
Conclui-se que
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\mathscr{L}\{g(t)\}(s)=0
para todos os s onde a transformada está definida.

Passo 5

Vou reforçar por que esse tipo de exemplo é legítimo e o que dá para aprender com ele na prova.
  1. Por que isso funciona? Porque a transformada de Laplace é definida por uma integral e a integral não depende do valor da função em um conjunto de medida zero (pontos isolados, um conjunto finito ou enumerável, etc.). Logo, alterar o valor de uma função em um único ponto não muda sua transformada.
  2. E sobre unicidade da transformada? Há um teorema de unicidade: se f e g são funções razoáveis (por exemplo, localmente integráveis e de ordem exponencial) e suas transformadas de Laplace coincidem para todos os s em alguma região, então f(t)=g(t) quase em toda parte — isto é, elas podem diferir apenas num conjunto de medida zero. Portanto, exemplos como o que dei (diferença em um ponto) não contradizem a unicidade porque as funções são iguais quase sempre. Em provas, é importante lembrar essa nuance: a transformada determina a função quase em toda parte, mas não fixa valores isolados.

Passo 6

Outros exemplos rápidos e intuitivos que pode usar na prova:
  • Qualquer par f e g tais que g(t)=f(t) para todo t>0 e g(0)\neq f(0).
  • Mais geral: trocar valores de f em qualquer conjunto de medida zero (conjunto finito, contável, etc.) não altera \mathscr{L}\{f\}.
Dica de exame: se o enunciado pede “dê exemplo de duas funções diferentes”, não é necessário construir algo sofisticado — basta lembrar que mudança num ponto basta. Se o enunciado exigir funções contínuas, aí sim não serve esse truque; então precisaríamos de outro exemplo (mas normalmente a unicidade vale para funções contínuas de ordem exponencial).

Resposta

f(t)\equiv 0,\qquad g(t)=\begin{cases}1,& t=0,\\[4pt]0,& t>0,\end{cases}]

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