Exercício 5.9 Dê exemplo de duas funções
e
, diferentes entre si, tais que
Passo 1
O enunciado pede que eu dê um exemplo concreto de duas funções
e
, diferentes entre si, tais que suas transformadas de Laplace coincidam:
Informações relevantes que o enunciado dá (implícitas):
- Preciso fornecer duas funções definidas em
(ou, pelo menos, em ). - As funções devem ser diferentes ponto a ponto (isto é, não podem ser idênticas como funções).
- A igualdade exigida é entre as transformadas de Laplace das duas funções.
Passo 2
Vou lembrar e explicar o que é a transformada de Laplace: por definição, para uma função
(integrável ou adequadamente comportada) a transformada de Laplace é
onde
é um número real ou complexo com parte real grande o suficiente para garantir convergência. Aqui
é a variável de integração no intervalo
e
é o parâmetro da transformada. O ponto importante para este exercício: a integral definida acima não “vê” o valor de
num conjunto de medida zero (por exemplo, num único ponto
), porque mudar o valor de
em um ponto não altera o valor da integral.
Explicando de forma bem direta: se duas funções diferem apenas em um conjunto com medida nula (p.ex., em um ponto isolado), então suas integrais sobre
são as mesmas, logo as transformadas de Laplace coincidem.
Passo 3
Com base nisso, uma construção simples é escolher duas funções que sejam iguais em todo lugar, exceto em [t=0). Essas serão claramente diferentes como funções (pois têm valores distintos em
), mas terão a mesma transformada de Laplace.
Apresento uma escolha muito simples:
Aqui
é idêntica a zero para todo
mas assume o valor
em
. Essas duas funções são diferentes porque
e
.]
Passo 4
Agora calculo explicitamente as transformadas de Laplace das duas funções para mostrar que coincidem.
Para
:
Para
:
Mas
para todo
. O valor de
em
não altera a integral (um ponto isolado tem medida zero). Portanto a integral é
Conclui-se que
para todos os
onde a transformada está definida.
Passo 5
Vou reforçar por que esse tipo de exemplo é legítimo e o que dá para aprender com ele na prova.
-
Por que isso funciona? Porque a transformada de Laplace é definida por uma integral e a integral não depende do valor da função em um conjunto de medida zero (pontos isolados, um conjunto finito ou enumerável, etc.). Logo, alterar o valor de uma função em um único ponto não muda sua transformada.
-
E sobre unicidade da transformada? Há um teorema de unicidade: se
e são funções razoáveis (por exemplo, localmente integráveis e de ordem exponencial) e suas transformadas de Laplace coincidem para todos os em alguma região, então quase em toda parte — isto é, elas podem diferir apenas num conjunto de medida zero. Portanto, exemplos como o que dei (diferença em um ponto) não contradizem a unicidade porque as funções são iguais quase sempre. Em provas, é importante lembrar essa nuance: a transformada determina a função quase em toda parte, mas não fixa valores isolados.
Passo 6
Outros exemplos rápidos e intuitivos que pode usar na prova:
- Qualquer par
e tais que para todo e . - Mais geral: trocar valores de
em qualquer conjunto de medida zero (conjunto finito, contável, etc.) não altera .
Dica de exame: se o enunciado pede “dê exemplo de duas funções diferentes”, não é necessário construir algo sofisticado — basta lembrar que mudança num ponto basta. Se o enunciado exigir funções contínuas, aí sim não serve esse truque; então precisaríamos de outro exemplo (mas normalmente a unicidade vale para funções contínuas de ordem exponencial).