Exercício 5.10 Nos problemas a seguir, calcule:
Passo 1
O que o problema pede: calcular
.\n
Informações dadas: a função a transformar é , definida para
.\n
Objetivo final: encontrar uma expressão em termos de que seja a transformada de Laplace dessa função (e indicar a região de convergência se necessário).
Informações dadas: a função a transformar é
Objetivo final: encontrar uma expressão em termos de
Passo 2
Definição da transformada de Laplace (a ferramenta que vamos usar).\n
A transformada de Laplace de uma função é definida por
A transformada de Laplace de uma função
onde
é uma variável complexa. \n
Significado das variáveis: é o tempo (variável real,
),
é a variável complexa da transformada; a integral converge apenas para valores de
em que o expoente
domina o crescimento de
.
Significado das variáveis:
Passo 3
Propriedade de deslocamento/exponencial (muito útil).\n
Se , então para qualquer constante
vale
Se
Explicação e demonstração simples: por definição
que é exatamente
, isto é, a transformada de
avaliada em
. \n
Observação sobre convergência: se converge para
, então
converge para
, ou seja
.
Observação sobre convergência: se
Passo 4
Vamos então obter
com
. Primeiro a fórmula geral: calcular
assumindo
para que os termos de contorno dêem zero.\n
Defina também
Defina também
Fazendo integração por partes em
: tomar
,
. Então
e
. Logo,
Os termos de contorno valem zero quando
, então
Agora aplicando integração por partes em
: tomar
,
. Então
e
. Assim
Os termos de contorno dão
no limite
e zero em
, portanto
Agora usamos as duas equações (sistema em
e
):
Substituindo
na primeira:
Reagrupando termos em
:
Portanto, para
,
Como caso particular com
,
Passo 5
Aplicar a propriedade de deslocamento com
(porque a função é
).\n
Se , então
Se
Região de convergência: como a transformada de
exige
, ao deslocar por
obtemos
, ou seja
.