Exercício 5.10 Nos problemas a seguir, calcule:
\mathscr{L}\left\{e^{t} \sin 3 t\right\}

Passo 1

O que o problema pede: calcular \mathscr{L}\{e^{t}\sin 3t\}.\n
Informações dadas: a função a transformar é f(t)=e^{t}\sin 3t, definida para t\ge0.\n
Objetivo final: encontrar uma expressão em termos de s que seja a transformada de Laplace dessa função (e indicar a região de convergência se necessário).

Passo 2

Definição da transformada de Laplace (a ferramenta que vamos usar).\n
A transformada de Laplace de uma função f(t) é definida por
\mathscr{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt,
onde s é uma variável complexa. \n
Significado das variáveis: t é o tempo (variável real, t\ge0), s é a variável complexa da transformada; a integral converge apenas para valores de s em que o expoente e^{-st} domina o crescimento de f(t).

Passo 3

Propriedade de deslocamento/exponencial (muito útil).\n
Se F(s)=\mathscr{L}\{f(t)\}(s), então para qualquer constante a vale
\mathscr{L}\{e^{at}f(t)\}(s)=F(s-a).
Explicação e demonstração simples: por definição
\mathscr{L}\{e^{at}f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}e^{at}f(t)\,dt=\int_{0}^{\infty}e^{-(s-a)t}f(t)\,dt,
que é exatamente F(s-a), isto é, a transformada de f avaliada em s-a. \n
Observação sobre convergência: se F(s) converge para \Re(s)>\sigma_0, então \mathscr{L}\{e^{at}f(t)\}(s) converge para \Re(s-a)>\sigma_0, ou seja \Re(s)>\sigma_0+a.

Passo 4

Vamos então obter F(s)=\mathscr{L}\{\sin bt\}(s) com b=3. Primeiro a fórmula geral: calcular
I(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(bt)\,dt,
assumindo \Re(s)>0 para que os termos de contorno dêem zero.\n
Defina também
J(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(bt)\,dt.
Fazendo integração por partes em I: tomar u=\sin(bt), dv=e^{-st}dt. Então du=b\cos(bt)\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Logo,
I = \left[-\dfrac{1}{s}e^{-st}\sin(bt)\right]_{0}^{\infty} + \dfrac{b}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\cos(bt)\,dt.
Os termos de contorno valem zero quando \Re(s)>0, então
I = \dfrac{b}{s}J.
Agora aplicando integração por partes em J: tomar u=\cos(bt), dv=e^{-st}dt. Então du=-b\sin(bt)\,dt e v=-\dfrac{1}{s}e^{-st}. Assim
J = \left[-\dfrac{1}{s}e^{-st}\cos(bt)\right]_{0}^{\infty} - \dfrac{b}{s}\int_{0}^{\infty}e^{-st}\sin(bt)\,dt.
Os termos de contorno dão \dfrac{1}{s} no limite t\to0 e zero em t\to\infty, portanto
J = \dfrac{1}{s} - \dfrac{b}{s}I.
Agora usamos as duas equações (sistema em I e J):
I = \dfrac{b}{s}J,\qquad J=\dfrac{1}{s}-\dfrac{b}{s}I.
Substituindo J na primeira:
I=\dfrac{b}{s}\left(\dfrac{1}{s}-\dfrac{b}{s}I\right)=\dfrac{b}{s^{2}}-\dfrac{b^{2}}{s^{2}}I.
Reagrupando termos em I:
I\left(1+\dfrac{b^{2}}{s^{2}}\right)=\dfrac{b}{s^{2}} \quad\Rightarrow\quad I=\dfrac{b}{s^{2}+b^{2}}.
Portanto, para \Re(s)>0,
\mathscr{L}\{\sin(bt)\}(s)=\dfrac{b}{s^{2}+b^{2}}.
Como caso particular com b=3,
\mathscr{L}\{\sin 3t\}(s)=\dfrac{3}{s^{2}+9},\qquad \Re(s)>0.

Passo 5

Aplicar a propriedade de deslocamento com a=1 (porque a função é e^{t}\sin 3t).\n
Se \mathscr{L}\{\sin 3t\}(s)=\dfrac{3}{s^{2}+9}, então
\mathscr{L}\{e^{t}\sin 3t\}(s)=\mathscr{L}\{\sin 3t\}(s-1)=\dfrac{3}{(s-1)^{2}+9}.
Região de convergência: como a transformada de \sin 3t exige \Re(s)>0, ao deslocar por +1 obtemos \Re(s-1)>0, ou seja \Re(s)>1.

Resposta

\mathscr{L}\{e^{t}\sin 3t\}(s)=\dfrac{3}{(s-1)^{2}+9},\quad \Re(s)>1

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