Exercício 3.10. Prove pela definição que:
O limite da função vetorial \vec{f}(t)=(\cos t, sent, t)) é o vetor \vec{A}=(1,0,0).
Em ambos os casos quando t \rightarrow 0. Considere que \cos t=1-\frac{t^{2}}{2!}+\frac{t^{4}}{4!}+\frac{1}{6!} O\left(t^{6}\right) na vizinhança de t=0.
Passo 1
O enunciado nos dá a função vetorial \vec{f}(t)=\big(\cos t,\;\sin t,\;t\big) e pede para provar, pela definição de limite, que o limite quando t\to 0 é o vetor \vec{A}=(1,0,0).
Informações fornecidas e relevantes:
A função: \vec{f}(t)=\big(\cos t,\;\sin t,\;t\big).
O ponto a que se quer o limite: \vec{A}=(1,0,0).
A expansão de \cos t na vizinhança de t=0 (dada no enunciado):
\cos t = 1 - \frac{t^{2}}{2!} + \frac{t^{4}}{4!} + O\big(t^{6}\big).
Quer-se provar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|t|<\delta, então \|\vec{f}(t)-\vec{A}\|<\varepsilon.
Passo 2
Escrevendo explicitamente a diferença entre \vec{f}(t) e \vec{A}:
A definição de limite para função vetorial pede que, dado \varepsilon>0, haja \delta>0 tal que, sempre que 0<|t|<\delta,
\big\|\vec{f}(t)-\vec{A}\big\|<\varepsilon.
Nesta prova usaremos a norma Euclidiana em \mathbb{R}^{3}, denotada por \|\cdot\|. Para facilitar as desigualdades, usaremos também a desigualdade \|\cdot\| \leq\|\cdot\|_{1}, onde \|\cdot\|_{1} é a norma-1 (soma dos valores absolutos). Em particular, para o vetor acima,
Simplificar a desigualdade para obter uma forma conveniente de controlar por \varepsilon.
Se restringirmos ainda a |t|<1, então t^{2}\le |t|, logo K\,t^{2}\le K|t|. Assim, para |t|<\delta_{1}:=\min(1,\delta_{0}),
\big\|\vec{f}(t)-\vec{A}\big\| \le (K+2)\,|t|.
Agora dado \varepsilon>0 queremos garantir \big\|\vec{f}(t)-\vec{A}\big\|<\varepsilon. Basta então escolher \delta tal que (K+2)\,|t|<\varepsilon sempre que 0<|t|<\delta. Uma escolha natural é
Concluímos a prova pela definição: para cada \varepsilon>0 existe \delta>0 (especificada acima) tal que, sempre que 0<|t|<\delta, tem-se \big\|\vec{f}(t)-\vec{A}\big\|<\varepsilon. Portanto