Exercício 3.10. Prove pela definição que:
O limite da função vetorial \vec{f}(t)=(\cos t, sent, t)) é o vetor \vec{A}=(1,0,0).
Em ambos os casos quando t \rightarrow 0. Considere que \cos t=1-\frac{t^{2}}{2!}+\frac{t^{4}}{4!}+\frac{1}{6!} O\left(t^{6}\right) na vizinhança de t=0.

Passo 1

O enunciado nos dá a função vetorial \vec{f}(t)=\big(\cos t,\;\sin t,\;t\big) e pede para provar, pela definição de limite, que o limite quando t\to 0 é o vetor \vec{A}=(1,0,0).
Informações fornecidas e relevantes:
  • A função: \vec{f}(t)=\big(\cos t,\;\sin t,\;t\big).
  • O ponto a que se quer o limite: \vec{A}=(1,0,0).
  • A expansão de \cos t na vizinhança de t=0 (dada no enunciado):
\cos t = 1 - \frac{t^{2}}{2!} + \frac{t^{4}}{4!} + O\big(t^{6}\big).
  • Quer-se provar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se 0<|t|<\delta, então \|\vec{f}(t)-\vec{A}\|<\varepsilon.

Passo 2

Escrevendo explicitamente a diferença entre \vec{f}(t) e \vec{A}:
\vec{f}(t)-\vec{A}=\big(\cos t-1,\;\sin t-0,\;t-0\big)=\big(\cos t-1,\;\sin t,\;t\big).
A definição de limite para função vetorial pede que, dado \varepsilon>0, haja \delta>0 tal que, sempre que 0<|t|<\delta,
\big\|\vec{f}(t)-\vec{A}\big\|<\varepsilon.
Nesta prova usaremos a norma Euclidiana em \mathbb{R}^{3}, denotada por \|\cdot\|. Para facilitar as desigualdades, usaremos também a desigualdade \|\cdot\| \leq\|\cdot\|_{1}, onde \|\cdot\|_{1} é a norma-1 (soma dos valores absolutos). Em particular, para o vetor acima,
\big\|\vec{f}(t)-\vec{A}\big\| \leq \big|\cos t-1\big| + \big|\sin t\big| + |t|.

Passo 3

Vamos obter estimativas para cada componente do lado direito.
  1. Estimativa para \big|\cos t-1\big|.
Da expansão fornecida:
\cos t - 1 = -\frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{4}}{4!} + R(t),
onde R(t)=O\big(t^{6}\big). Isso significa que existem constantes C>0 e \delta_{0}>0 tais que, para |t|<\delta_{0},
\big|R(t)\big| \le C\,|t|^{6}.
Escolhendo 0<|t|<\min(1,\delta_{0}) temos t^{4}\le t^{2} e t^{6}\le t^{2}, então
\big|\cos t-1\big| \le \frac{t^{2}}{2} + \frac{t^{4}}{4!} + C|t|^{6} \le \Big(\frac{1}{2}+\frac{1}{4!}+C\Big)\,t^{2}.
Defina uma constante positiva
K := \frac{1}{2}+\frac{1}{4!}+C,
de modo que, para |t|<\min(1,\delta_{0}),
\big|\cos t-1\big| \le K\,t^{2}.
  1. Estimativa para \big|\sin t\big|.
É uma desigualdade clássica que, para todo t\in\mathbb{R},
\big|\sin t\big| \le |t|.
(Isto pode ser visto pela série de Taylor \sin t = t - t^{3}/6 +\cdots ou por argumentos geométricos.) Assim, para todo t,
\big|\sin t\big| \le |t|.
  1. O terceiro termo já é |t|.
Portanto, somando as estimativas (para |t|<\min(1,\delta_{0})):
\big\|\vec{f}(t)-\vec{A}\big\| \le K\,t^{2} + |t| + |t| = K\,t^{2} + 2|t|.

Passo 4

Simplificar a desigualdade para obter uma forma conveniente de controlar por \varepsilon.
Se restringirmos ainda a |t|<1, então t^{2}\le |t|, logo K\,t^{2}\le K|t|. Assim, para |t|<\delta_{1}:=\min(1,\delta_{0}),
\big\|\vec{f}(t)-\vec{A}\big\| \le (K+2)\,|t|.
Agora dado \varepsilon>0 queremos garantir \big\|\vec{f}(t)-\vec{A}\big\|<\varepsilon. Basta então escolher \delta tal que (K+2)\,|t|<\varepsilon sempre que 0<|t|<\delta. Uma escolha natural é
\delta := \min\Big(\delta_{1},\;\frac{\varepsilon}{K+2}\Big).
Com essa escolha, se 0<|t|<\delta então |t|<\varepsilon/(K+2) e assim
\big\|\vec{f}(t)-\vec{A}\big\| \le (K+2)\,|t| < (K+2)\,\frac{\varepsilon}{K+2} = \varepsilon.

Passo 5

Concluímos a prova pela definição: para cada \varepsilon>0 existe \delta>0 (especificada acima) tal que, sempre que 0<|t|<\delta, tem-se \big\|\vec{f}(t)-\vec{A}\big\|<\varepsilon. Portanto
\lim_{t\to 0}\vec{f}(t)=\vec{A}=(1,0,0).

Resposta

\vec{A}=(1,0,0)

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