Exercício 3.41. Mostre que a curvatura de uma curva plana parametrizada por r(t)=x(t) \vec{i} +y(t) \vec{j} é dada por
k=\frac{\left|x^{\prime} y^{\prime \prime}-y^{\prime} x^{\prime \prime}\right|}{\left[\left(x^{\prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right]^{3 / 2}}

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva plana parametrizada por \,r(t)=x(t)\,\vec{i}+y(t)\,\vec{j}\, e pede para mostrar que a curvatura dessa curva é
k=\frac{\left|x^{\prime} y^{\prime \prime}-y^{\prime} x^{\prime \prime}\right|}{\left[\left(x^{\prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right]^{3/2}}.
Informações dadas:
  • A parametrização r(t) com componentes x(t) e y(t).
  • Derivadas temporais x^{\prime}(t),\,y^{\prime}(t),\,x^{\prime\prime}(t),\,y^{\prime\prime}(t) existem.
O que se pede:
  • Mostrar passo a passo como a definição de curvatura leva à fórmula acima escrita em termos de x',y',x'',y''.

Passo 2

Definições e ideia principal que vamos usar (passo-a-passo didático).
  • Curvatura: por definição geométrica, a curvatura k mede a taxa de variação do vetor tangente unitário em relação ao comprimento de arco. Assim:
k=\left\|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right\|,
onde \mathbf{T} é o vetor tangente unitário e s é o comprimento de arco.
  • Comprimento de arco: para a parametrização por t vale
\frac{ds}{dt}=\|r'(t)\|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}.
Aqui \|\,\cdot\,\| indica norma euclidiana (módulo) do vetor.
  • Vetor tangente unitário: é
\mathbf{T}(t)=\frac{r'(t)}{\|r'(t)\|}.
Da relação entre derivadas em s e em t segue a fórmula útil
k=\left\|\frac{d\mathbf{T}}{ds}\right\|=\frac{\left\|\dfrac{d\mathbf{T}}{dt}\right\|}{\dfrac{ds}{dt}}=\frac{\| \mathbf{T}'(t)\|}{\|r'(t)\|}.
Vamos calcular \mathbf{T}'(t) explicitamente e simplificar.

Passo 3

Cálculo explícito de \mathbf{T}'(t) usando regra do quociente vetorial.
Defina v(t)=r'(t). Então \mathbf{T}=\dfrac{v}{\|v\|}. Diferenciando em t,
\mathbf{T}'(t)=\frac{d}{dt}\!\left(\frac{v}{\|v\|}\right) =\frac{v'}{\|v\|}-v\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{\|v\|}\right).
Agora
\frac{d}{dt}\big(\|v\|\big)=\frac{d}{dt}\big(\sqrt{v\cdot v}\big)=\frac{v\cdot v'}{\|v\|},
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\frac{d}{dt}\!\left(\frac{1}{\|v\|}\right)=-\frac{v\cdot v'}{\|v\|^3}.
Substituindo em \mathbf{T}' obtém-se
\mathbf{T}'(t)=\frac{v'}{\|v\|}+v\frac{v\cdot v'}{\|v\|^3} =\frac{\|v\|^2 v' - v (v\cdot v')}{\|v\|^3}.

Passo 4

Expressão do módulo \|\mathbf{T}'(t)\| e simplificação com decomposição ortogonal.
Queremos \|\mathbf{T}'(t)\|. Note que a combinação \|v\|^2 v' - v (v\cdot v') elimina a componente de v' paralela a v e deixa apenas a componente perpendicular. Para ver isso de forma clara, decompose v' em parte paralela a v e parte perpendicular:
v' = v'_{\parallel} + v'_{\perp},\qquad v'_{\parallel}=\frac{v\cdot v'}{\|v\|^2}\,v,\qquad v'_{\perp}=v'-v'_{\parallel}.
Então
\|v\|^2 v' - v (v\cdot v')=\|v\|^2 v'_{\perp}.
Portanto
\|\mathbf{T}'(t)\|=\frac{\|\|v\|^2 v'_{\perp}\|}{\|v\|^3}=\frac{\|v\|^2\|v'_{\perp}\|}{\|v\|^3}=\frac{\|v'_{\perp}\|}{\|v\|}.
Mas \|v'_{\perp}\|=\|v'\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre v e v'. Note também que o módulo do produto vetorial em \mathbb{R}^3 satisfa z \|v\times v'\|=\|v\|\,\|v'\|\sin\theta. Assim
\|v'_{\perp}\|=\frac{\|v\times v'\|}{\|v\|}.
Substituindo em \|\mathbf{T}'(t)\| obtemos a expressão compacta
\|\mathbf{T}'(t)\|=\frac{\|v\times v'\|}{\|v\|^2}.

Passo 5

Agora usamos k=\dfrac{\|\mathbf{T}'(t)\|}{\|r'(t)\|}=\dfrac{\|\mathbf{T}'(t)\|}{\|v\|}. Substituindo a expressão do passo anterior,
k=\frac{\|v\times v'\|}{\|v\|^3}.
Esta é uma forma muito utilizada: curvatura igual ao módulo do produto vetorial entre r'(t) e r''(t), dividido por \|r'(t)\|^3:
k=\frac{\|r'(t)\times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^3}.

Passo 6

Especializar para curva planar. Para a curva plana dada por r(t)=(x(t),y(t),0) embebida em \mathbb{R}^3 (colocando componente z=0), temos
r'(t)=(x'(t),y'(t),0),\qquad r''(t)=(x''(t),y''(t),0).
O produto vetorial tem só componente z (escalar) e seu módulo é
\|r'(t)\times r''(t)\|=\big|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\big|.
Além disso
\|r'(t)\|=\sqrt{\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2}.
Substituindo essas expressões em
k=\frac{\|r'(t)\times r''(t)\|}{\|r'(t)\|^3}
resulta exatamente na fórmula pedida:
k=\frac{\big|x'(t)y''(t)-y'(t)x''(t)\big|}{\big[\big(x'(t)\big)^2+\big(y'(t)\big)^2\big]^{3/2}}.

Resposta

k=\frac{\left|x^{\prime} y^{\prime \prime}-y^{\prime} x^{\prime \prime}\right|}{\left[\left(x^{\prime}\right)^{2}+\left(y^{\prime}\right)^{2}\right]^{3/2}}

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