\mathbf{T}'(t)=\frac{v'}{\|v\|}+v\frac{v\cdot v'}{\|v\|^3} =\frac{\|v\|^2 v' - v (v\cdot v')}{\|v\|^3}.
Passo 4
Expressão do módulo \|\mathbf{T}'(t)\| e simplificação com decomposição ortogonal.
Queremos \|\mathbf{T}'(t)\|. Note que a combinação \|v\|^2 v' - v (v\cdot v') elimina a componente de v' paralela a v e deixa apenas a componente perpendicular. Para ver isso de forma clara, decompose v' em parte paralela a v e parte perpendicular:
Mas \|v'_{\perp}\|=\|v'\|\sin\theta, onde \theta é o ângulo entre v e v'. Note também que o módulo do produto vetorial em \mathbb{R}^3 satisfa z \|v\times v'\|=\|v\|\,\|v'\|\sin\theta. Assim
\|v'_{\perp}\|=\frac{\|v\times v'\|}{\|v\|}.
Substituindo em \|\mathbf{T}'(t)\| obtemos a expressão compacta