Exercício 3.3. Identifique cada uma das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais. Desenhe no sistema cartesiano a imagem de cada uma delas. Ajuda: elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana e veja se é uma reta, circunferência, elipse, hipérbole, parábola ou hélice.
Passo 1
O enunciado dá a função vetorial
e pede duas coisas: (1) identificar que curva no plano é a imagem dessa função e (2) desenhar (descrever) a imagem no sistema cartesiano. Informações dadas:
- A componente
vale . - A componente
vale . - O parâmetro está restrito a
.
Passo 2
Eliminação do parâmetro para obter a equação cartesiana. Temos as igualdades
Da segunda, isolamos
:
Substituindo em
obtemos a relação entre
e
:
Passo 3
Classificação da curva a partir da equação cartesiana. A equação
é uma parábola com eixo paralelo ao eixo
(parábola “deitada”). Em forma padrão horizontal, uma parábola é
onde
é o vértice e
indica a abertura (se
abre para a direita). Comparando, aqui
,
e
. Portanto o vértice é
e, como
, a parábola abre para a direita.
Passo 4
Levantando as consequências da restrição
. Como
, a condição
vira
Além disso, de
segue
(para
) e
. Assim a imagem parametrizada corresponde ao ramo da parábola dado por
ou, equivalente,
Observação importante: o vértice
corresponde a
, mas como
esse ponto não pertence à imagem; a curva se aproxima arbitrariamente perto dele quando
, mas não o contém.
Passo 5
Comportamento e orientação da parametrização (útil para desenhar). Para ver como a curva é percorrida quando
cresce:
- Calculando alguns pontos:
(Os números foram obtidos substituindo
nas fórmulas
e
.)
- A derivada implícita da parametrização dá a inclinação da curva:
, , logo Como , essa inclinação é positiva e decresce quando aumenta; ao aproximar a inclinação tende a (a curva é quase vertical perto do vértice) e quando a inclinação tende a (a curva fica quase horizontal, apontando para a direita). - Portanto, ao desenhar, começa-se muito perto de
(mas sem incluí‑lo) e a curva segue para a direita subindo lentamente, passando por , , etc.
Passo 6
Como esboçar no plano (instruções práticas):
- Marcar o vértice
com um círculo vazio ou ponto excluído (não pertence à imagem). - Desenhar o eixo de simetria da parábola: a linha horizontal
. - Plotar pontos recomendados:
, , . - Fazer uma curva suave que passa por esses pontos, abre para a direita e fica sempre com
. Esa curva é o ramo da parábola correspondente a .
Resposta
Parábola dada por
; imagem parametrizada é o ramo
, equivalente a
com
.