Exercício 3.3. Identifique cada uma das curvas definidas pelas seguintes funções vetoriais. Desenhe no sistema cartesiano a imagem de cada uma delas. Ajuda: elimine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana e veja se é uma reta, circunferência, elipse, hipérbole, parábola ou hélice.
\vec{f}(t)=\left(t^{2}, t-1\right), t>0

Passo 1

O enunciado dá a função vetorial
\vec{f}(t)=\big(t^{2},\,t-1\big),\qquad t>0,
e pede duas coisas: (1) identificar que curva no plano é a imagem dessa função e (2) desenhar (descrever) a imagem no sistema cartesiano. Informações dadas:
  • A componente x vale x=t^{2}.
  • A componente y vale y=t-1.
  • O parâmetro está restrito a t>0.

Passo 2

Eliminação do parâmetro para obter a equação cartesiana. Temos as igualdades
x=t^{2},\qquad y=t-1.
Da segunda, isolamos t:
t=y+1.
Substituindo em x=t^{2} obtemos a relação entre x e y:
x=(y+1)^{2}.

Passo 3

Classificação da curva a partir da equação cartesiana. A equação
x=(y+1)^{2}
é uma parábola com eixo paralelo ao eixo x (parábola “deitada”). Em forma padrão horizontal, uma parábola é
x=a(y-k)^{2}+h,
onde (h,k) é o vértice e a indica a abertura (se a>0 abre para a direita). Comparando, aqui a=1, h=0 e k=-1. Portanto o vértice é
(0,-1)
e, como a=1>0, a parábola abre para a direita.

Passo 4

Levantando as consequências da restrição t>0. Como t=y+1, a condição t>0 vira
y+1>0\quad\Rightarrow\quad y>-1.
Além disso, de x=t^{2} segue x>0 (para t>0) e t=\sqrt{x}. Assim a imagem parametrizada corresponde ao ramo da parábola dado por
y=\sqrt{x}-1,\qquad x>0,
ou, equivalente,
\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}\mid x=(y+1)^{2},\;y>-1\}.
Observação importante: o vértice (0,-1) corresponde a t=0, mas como t>0 esse ponto não pertence à imagem; a curva se aproxima arbitrariamente perto dele quando t\to0^{+}, mas não o contém.

Passo 5

Comportamento e orientação da parametrização (útil para desenhar). Para ver como a curva é percorrida quando t cresce:
  • Calculando alguns pontos: t=\tfrac{1}{2}\Rightarrow (x,y)=\big((\tfrac{1}{2})^{2},\tfrac{1}{2}-1\big)=\big(0,25,-0,5\big),
t=1\Rightarrow (x,y)=(1,0),
t=2\Rightarrow (x,y)=(4,1).
(Os números foram obtidos substituindo t nas fórmulas x=t^{2} e y=t-1.)
  • A derivada implícita da parametrização dá a inclinação da curva: dx/dt=2t, dy/dt=1, logo \frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}=\frac{1}{2t}.Como t>0, essa inclinação é positiva e decresce quando t aumenta; ao aproximar t\to0^{+} a inclinação tende a +\infty (a curva é quase vertical perto do vértice) e quando t\to\infty a inclinação tende a 0 (a curva fica quase horizontal, apontando para a direita).
  • Portanto, ao desenhar, começa-se muito perto de (0,-1) (mas sem incluí‑lo) e a curva segue para a direita subindo lentamente, passando por (1,0), (4,1), etc.

Passo 6

Como esboçar no plano (instruções práticas):
  • Marcar o vértice (0,-1) com um círculo vazio ou ponto excluído (não pertence à imagem).
  • Desenhar o eixo de simetria da parábola: a linha horizontal y=-1.
  • Plotar pontos recomendados: (0{,}25,-0{,}5), (1,0), (4,1).
  • Fazer uma curva suave que passa por esses pontos, abre para a direita e fica sempre com y>-1. Esa curva é o ramo da parábola x=(y+1)^{2} correspondente a t>0.

Resposta

Parábola dada por x=(y+1)^{2}; imagem parametrizada é o ramo \{(x,y)\mid x=(y+1)^{2},\;y>-1\}, equivalente a y=\sqrt{x}-1 com x>0.

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