Exercício 10. Prove as seguintes afirmações.
A função arcsen : ]-1,1[\rightarrow] \frac{-\pi}{2}, \frac{\pi}{2}[ é derivável e vale que \operatorname{arcsen}^{\prime}(y)=\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}

Passo 1

O enunciado dá a função \operatorname{arcsen}:\,]-1,1[ \to ]-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}[ (ou seja, a inversa da função seno restrita ao intervalo \left]-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right[) e pede para provar duas coisas:
  • que \operatorname{arcsen} é diferenciável em cada ponto de ]-1,1[;
  • que a derivada vale
\operatorname{arcsen}'(y)=\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}\quad\text{para todo }y\in]-1,1[.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • domínio de \operatorname{arcsen} é ]-1,1[;
  • imagem (valores) de \operatorname{arcsen} está em ]\!-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\![;
  • \operatorname{arcsen} é a função inversa de \sin restrita a \left]-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right[.

Passo 2

Idea básica e justificativa do método escolhido (curtinha e prática).
Uma maneira direta é usar a relação inversa entre seno e arcseno: se y=\sin x e x=\operatorname{arcsen}(y), podemos diferenciar essa igualdade em relação a y (regra da cadeia/derivada da função inversa) para obter \dfrac{dx}{dy}=\dfrac{1}{\cos x}. Essa abordagem é simples e usa pouco cálculo técnico; é equivalente ao teorema da derivada da função inversa. Vou seguir esse caminho porque é o mais direto e exige apenas conhecimento do que é derivada da seno e da regra da cadeia, coisas básicas e apropriadas para uma prova.

Passo 3

Lembrando e explicando duas coisas que vou usar:
  • Derivada do seno: a função \sin x é diferenciável em todo \mathbb{R} e
\frac{d}{dx}\sin x = \cos x.
Aqui \cos x é a função cosseno avaliada no mesmo ponto x. Isto significa que, se x varia um pouco, a taxa de variação instantânea de \sin x é \cos x.
  • Regra da cadeia (no caso simples de composição inversa): se x\mapsto \sin x é diferenciável em x com derivada \cos x e x depende de y (isto é, x=x(y)), então diferenciando y=\sin(x(y)) em relação a y obtemos
\frac{d}{dy}y = \frac{d}{dy}\sin(x(y)) = \cos(x(y))\cdot \frac{dx}{dy}.
Isto é a regra da cadeia aplicada ao composto \sin\circ x(y).

Passo 4

Aplicando isso ao nosso caso concreto: seja y\in]-1,1[. Defina
x=\operatorname{arcsen}(y).
Pela definição de \operatorname{arcsen} temos
\sin x = y,
com x\in\left]-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right[. Agora diferenciamos a identidade \sin x = y em relação a y, tratando x como função de y (isto é, x=x(y)). Pela regra da cadeia:
\cos x\cdot \frac{dx}{dy} = 1,
pois \dfrac{d}{dy}y=1. Portanto
\frac{dx}{dy} = \frac{1}{\cos x}.
Mas \dfrac{dx}{dy} é exatamente \operatorname{arcsen}'(y), pois x=\operatorname{arcsen}(y). Assim obtemos
\operatorname{arcsen}'(y)=\frac{1}{\cos\bigl(\operatorname{arcsen}(y)\bigr)}.

Passo 5

Agora expressar \cos\bigl(\operatorname{arcsen}(y)\bigr) em função de y. Use a identidade trigonométrica básica
\cos^{2}t + \sin^{2}t = 1,
válida para todo t. Tomando t=x=\operatorname{arcsen}(y) e lembrando que \sin x = y, obtemos
\cos^{2}x = 1 - \sin^{2}x = 1 - y^{2}.
Logo
\cos x = \pm\sqrt{1-y^{2}}.

Passo 6

Decidir o sinal da raiz (por que escolhemos o sinal positivo). Como x=\operatorname{arcsen}(y) pertence a \left]-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2}\right[, sabemos que para todo x nesse intervalo vale \cos x>0 (o cosseno é positivo no quadrante central entre -\tfrac{\pi}{2} e \tfrac{\pi}{2}). Portanto, no nosso caso
\cos\bigl(\operatorname{arcsen}(y)\bigr) = +\sqrt{1-y^{2}}.
Substituindo isso na fórmula obtida no Passo 4,
\operatorname{arcsen}'(y)=\frac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}.

Passo 7

Verificação de detalhes técnicos (por que isso prova diferenciabilidade em todo o domínio):
  • As operações acima foram feitas para um y arbitrário em ]-1,1[, então valem para qualquer ponto desse intervalo.
  • A derivada existe porque usamos que \cos(\operatorname{arcsen}(y))\neq 0 para todo y\in]-1,1[, daí a divisão por esse valor é legítima. De fato, \cos(\operatorname{arcsen}(y))=\sqrt{1-y^{2}}>0.
  • Assim \operatorname{arcsen} tem derivada bem definida em todo ]-1,1[ e a fórmula acima dá seu valor em cada ponto.

Passo 8

Comentário final e um exemplo numérico rápido para fixar:
  • Em y=0 temos \operatorname{arcsen}'(0)=\dfrac{1}{\sqrt{1-0^{2}}}=1, o que faz sentido: perto de 0 a arcsen varia aproximadamente como a identidade.
  • À medida que y se aproxima de \pm 1, \sqrt{1-y^{2}} tende a 0 e a derivada tende a +\infty, o que reflete o fato de que a curva de \operatorname{arcsen} fica muito vertical próximo às extremidades do domínio.

Resposta

\operatorname{arcsen}'(y)=\dfrac{1}{\sqrt{1-y^{2}}}

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