Exercício 10. Prove as seguintes afirmações.
A função arcsen :
é derivável e vale que
A função arcsen :
Passo 1
O enunciado dá a função
(ou seja, a inversa da função seno restrita ao intervalo
) e pede para provar duas coisas:
- que
é diferenciável em cada ponto de ; - que a derivada vale
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- domínio de
é ; - imagem (valores) de
está em ; -
é a função inversa de restrita a .
Passo 2
Idea básica e justificativa do método escolhido (curtinha e prática).
Uma maneira direta é usar a relação inversa entre seno e arcseno: se e
, podemos diferenciar essa igualdade em relação a
(regra da cadeia/derivada da função inversa) para obter
. Essa abordagem é simples e usa pouco cálculo técnico; é equivalente ao teorema da derivada da função inversa. Vou seguir esse caminho porque é o mais direto e exige apenas conhecimento do que é derivada da seno e da regra da cadeia, coisas básicas e apropriadas para uma prova.
Uma maneira direta é usar a relação inversa entre seno e arcseno: se
Passo 3
Lembrando e explicando duas coisas que vou usar:
- Derivada do seno: a função
é diferenciável em todo e
Aqui
é a função cosseno avaliada no mesmo ponto
. Isto significa que, se
varia um pouco, a taxa de variação instantânea de
é
.
- Regra da cadeia (no caso simples de composição inversa): se
é diferenciável em com derivada e depende de (isto é, ), então diferenciando em relação a obtemos
Isto é a regra da cadeia aplicada ao composto
.
Passo 4
Aplicando isso ao nosso caso concreto: seja
. Defina
Pela definição de
temos
com
. Agora diferenciamos a identidade
em relação a
, tratando
como função de
(isto é,
). Pela regra da cadeia:
pois
. Portanto
Mas
é exatamente
, pois
. Assim obtemos
Passo 5
Agora expressar
em função de
. Use a identidade trigonométrica básica
válida para todo
. Tomando
e lembrando que
, obtemos
Logo
Passo 6
Decidir o sinal da raiz (por que escolhemos o sinal positivo). Como
pertence a
, sabemos que para todo
nesse intervalo vale
(o cosseno é positivo no quadrante central entre
e
). Portanto, no nosso caso
Substituindo isso na fórmula obtida no Passo 4,
Passo 7
Verificação de detalhes técnicos (por que isso prova diferenciabilidade em todo o domínio):
- As operações acima foram feitas para um
arbitrário em , então valem para qualquer ponto desse intervalo. - A derivada existe porque usamos que
para todo , daí a divisão por esse valor é legítima. De fato, . - Assim
tem derivada bem definida em todo e a fórmula acima dá seu valor em cada ponto.
Passo 8
Comentário final e um exemplo numérico rápido para fixar:
- Em
temos , o que faz sentido: perto de a arcsen varia aproximadamente como a identidade. - À medida que
se aproxima de , tende a e a derivada tende a , o que reflete o fato de que a curva de fica muito vertical próximo às extremidades do domínio.