Exercício 2.5.10. Em R^3 estabelecer para quais valores de h in R os vetores v1=(1, h, 0), v2=(2 h, 0,1), v3=(1,0,1) são linearmente dependentes. Em correspondência dos valores encontrados escrever um destes vetores como combinação linear dos outros dois.

Passo 1

O enunciado pede para determinar os valores de hinR que fazem os vetores
v1=(1,h,0), v2=(2h,0,1) e v3=(1,0,1) em R^3 serem linearmente dependentes. Vamos usar o critério de dependência pelo determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores.

Passo 2

Formamos a matriz cujas linhas são v1, v2, v3:
M= 1 & h & 0 2h & 0 & 1 1 & 0 & 1
Calculamos o determinante por cofactores na primeira linha:
det M =1cdot(0cdot1-1cdot0);-;hcdot(2hcdot1-1cdot1);+;0cdot(cdots) =-,h,(2h-1)

Passo 3

Para dependência linear, exige-se det M=0. Logo,
-,h,(2h-1)=0 Longrightarrow h=0ou h=tfrac12

Passo 4

No caso h=0, os vetores ficam
v1=(1,0,0), v2=(0,0,1), v3=(1,0,1).
Observamos que
v3 =,(1,0,1) =,(1,0,0)+(0,0,1) = v1+ v2

Passo 5

No caso h=tfrac12, temos
v2=(2cdottfrac12,0,1)=(1,0,1) e
v3=(1,0,1),
logo
v2= v3

Resposta

Os vetores são linearmente dependentes exatamente para
h=0e h=tfrac12
Para h=0: v3= v1+ v2.
Para h=tfrac12: v2= v3.

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