Exercício 2.5.10. Em estabelecer para quais valores de os vetores são linearmente dependentes. Em correspondência dos valores encontrados escrever um destes vetores como combinação linear dos outros dois.
Passo 1
O enunciado pede para determinar os valores de que fazem os vetores , e em serem linearmente dependentes. Vamos usar o critério de dependência pelo determinante da matriz cujas linhas (ou colunas) são esses vetores.
Passo 2
Formamos a matriz cujas linhas são :
Calculamos o determinante por cofactores na primeira linha:
det M =1cdot(0cdot1-1cdot0);-;hcdot(2hcdot1-1cdot1);+;0cdot(cdots) =-,h,(2h-1)
Passo 3
Para dependência linear, exige-se det M=0. Logo,
-,h,(2h-1)=0 Longrightarrow h=0ou h=tfrac12
Passo 4
No caso h=0, os vetores ficam v1=(1,0,0), v2=(0,0,1), v3=(1,0,1).
Observamos que
v3 =,(1,0,1) =,(1,0,0)+(0,0,1) = v1+ v2
Passo 5
No caso h=tfrac12, temos v2=(2cdottfrac12,0,1)=(1,0,1) e v3=(1,0,1),
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v2= v3
Resposta
Os vetores são linearmente dependentes exatamente para