Exercício 2.5.9. Para cada um dos sub-espaços vetoriais
encontrar um sistema linear homogêneo que tenha o sub-espaço como espaço de soluções.
Passo 1
O enunciado dá subespaços vetoriais descritos pelos vetores que os geram e pede um sistema homogêneo cujo espaço de soluções (o núcleo de ) seja exatamente cada . A ideia é usar que as linhas de geram o complemento ortogonal de . Assim, cada equação do sistema corresponde a um vetor normal a , e o número de equações é .
Passo 2
Para temos , logo precisamos de equação. Qualquer vetor normal a é proporcional a . Tomando o sistema
garantimos que sua solução é .
Passo 3
Para notamos que ambos os geradores têm terceira coordenada zero, e eles são independentes, então . Precisamos de equação: basta forçar . O sistema
tem núcleo exatamente , que é .
Passo 4
Para os vetores são independentes (), então precisamos de 1 equação. Procuramos tal que
Da segunda , e da primeira , logo serve. O sistema
tem núcleo igual a .
Passo 5
Para
que tem dimensão 2. Uma base desse complemento é, por exemplo, e . Então podemos usar o sistema
cujo núcleo é exatamente (\mathrm{span}{(1,-2,3)}=V_{4}].
Passo 6
Para
O sistema
tem núcleo ({(t,t,t)}=V_{5}].
Passo 7
Para
A solução geral é
portanto podemos tomar as duas equações correspondentes:
O núcleo desse sistema é exatamente (V_{6}].
Resposta
Para cada [V_i), um sistema homogêneo com núcleo igual a é: