Exercício 2.5.9. Para cada um dos sub-espaços vetoriais
V1 & =[(1,1)], V2=[(1,1,0),(1,-1,0)], V3=[(1,1,1),(1,-1,0)], V4=[(1,-2,3),(-2,4,-6)], V5 & =[(1,1,1)], V6=[(1,2,3,0),(2,2,0,-1),(4,6,6,-1)]
encontrar um sistema linear homogêneo que tenha o sub-espaço como espaço de soluções.

Passo 1

O enunciado dá subespaços vetoriais Visubseteq R^n descritos pelos vetores que os geram e pede um sistema homogêneo A x=0 cujo espaço de soluções (o núcleo de A) seja exatamente cada Vi. A ideia é usar que as linhas de A geram o complemento ortogonal de Vi. Assim, cada equação do sistema corresponde a um vetor normal a Vi, e o número de equações é n-dim(Vi).

Passo 2

Para V1=[(1,1)]subseteq R^2 temos dim(V1)=1, logo precisamos de 2-1=1 equação. Qualquer vetor normal a (1,1) é proporcional a (1,-1). Tomando o sistema
x1-x2=0
garantimos que sua solução é (t,t)mid tin R=span(1,1)=V1.

Passo 3

Para V2=[(1,1,0),(1,-1,0)]subseteq R^3 notamos que ambos os geradores têm terceira coordenada zero, e eles são independentes, então dim(V2)=2. Precisamos de 3-2=1 equação: basta forçar x3=0. O sistema
x3=0
tem núcleo exatamente (x1,x2,0), que é V2.

Passo 4

Para V3=[(1,1,1),(1,-1,0)]subseteq R^3 os vetores são independentes ( dim=2), então precisamos de 1 equação. Procuramos (a,b,c)neq(0,0,0) tal que
a+ b+ c=0, a - b + 0cdot c=0
Da segunda a=b, e da primeira 2a + c=0, logo (a,b,c)=(1,1,-2) serve. O sistema
x1+x2-2x3=0
tem núcleo igual a V3.

Passo 5

Para
que tem dimensão 2. Uma base desse complemento é, por exemplo, e . Então podemos usar o sistema
cujo núcleo é exatamente (\mathrm{span}{(1,-2,3)}=V_{4}].

Passo 6

Para
O sistema
tem núcleo ({(t,t,t)}=V_{5}].

Passo 7

Para
A solução geral é
portanto podemos tomar as duas equações correspondentes:
O núcleo desse sistema é exatamente (V_{6}].

Resposta

Para cada [V_i), um sistema homogêneo com núcleo igual a é:
:
:
:
:
(V_{5}\subseteq\mathbb R^3]:
:

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