Exercício 2.5.11. Em R^4, para o sub-espaço vetorial V=[(1,-2,0,0),(0,0,1,1)] e o sub-espaço W das soluções do sistema
l x+y-z+t=0 x-2 y=0
determine uma base do sub-espaço vetorial V cap W.

Passo 1

O enunciado fornece em
e o subespaço definido pelas soluções do sistema
Precisamos achar e impor nele as equações de .

Passo 2

Seja (x,y,z,t)in V. Então existem alpha,betainR tais que
(x,y,z,t) =alpha,(1,-2,0,0)+beta,(0,0,1,1) =(alpha,,-2alpha,,beta,,beta)

Passo 3

Impondo as equações de W ao vetor (alpha,-2alpha,beta,beta), temos
alpha+(-2alpha)-beta+beta=0
alpha-2(-2alpha)=0
A primeira dá -alpha=0Rightarrowalpha=0. A segunda dá 5alpha=0Rightarrowalpha=0. Logo alpha=0, sem restrição sobre beta.

Passo 4

Com , qualquer vetor em é
Assim

Resposta

Uma base de Vcap W é (0,0,1,1).

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