Exercício 2.5.8. Seja L=[(1,2,3),(0,1,1)], responder às seguintes questões:
a) estabelecer se v1=(2,5,7) in L e v2=(1,-1,1) in L;
b) encontrar um sistema linear homogêneo que tenha L como espaço de soluções.

Passo 1

O enunciado define o subespaço
L = spanl(1,2,3),,(0,1,1)rsubsetR^3
Na parte (a) vamos testar se cada vetor dado pertence a L procurando escalares a,b tais que
a,(1,2,3) + b,(0,1,1) = v
Na parte (b) queremos um sistema linear homogêneo A,x=0 cujo espaço de soluções seja exatamente L.

Passo 2

Verificamos v1=(2,5,7). Buscamos a,b tais que
(a,,2a+b,,3a+b) = (2,5,7)
Das componentes:
a=2, 2a+b=5implies 4+b=5implies b=1, 3a+b=6+1=7
Não há contradição, logo v1in L.

Passo 3

Agora v2=(1,-1,1). De novo
(a,,2a+b,,3a+b) = (1,-1,1)
a=1, 2cdot1+b=-1implies b=-3, 3cdot1+(-3)=0neq1
Há contradição na terceira componente, então v2notin L.

Passo 4

Como dim L=2 em R^3, basta uma equação linear para descrevê-lo. Um vetor normal a L é
(1,2,3)times(0,1,1)=(-1,-1,1)
A equação lang<= (-1,-1,1),,(x,y,z)rang<==0 é
-x - y + z = 0,
que podemos reescrever como
x + y - z = 0
Esse sistema homogêneo tem precisamente L como espaço de soluções.

Resposta

(a) v1in L, v2notin L.
(b) Um sistema é
x + y - z = 0

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