Exercício 2.5.8. Seja
, responder às seguintes questões:
a) estabelecer se
;
b) encontrar um sistema linear homogêneo que tenha
como espaço de soluções.
a) estabelecer se
b) encontrar um sistema linear homogêneo que tenha
Passo 1
O enunciado define o subespaço
Na parte (a) vamos testar se cada vetor dado pertence a
procurando escalares
tais que
Na parte (b) queremos um sistema linear homogêneo
cujo espaço de soluções seja exatamente
.
Passo 2
Verificamos
. Buscamos
tais que
Das componentes:
Não há contradição, logo
.
Passo 3
Agora
. De novo
dá
Há contradição na terceira componente, então
.
Passo 4
Como
em
, basta uma equação linear para descrevê-lo. Um vetor normal a
é
A equação
é
que podemos reescrever como
Esse sistema homogêneo tem precisamente
como espaço de soluções.
Resposta
(a)
,
.
(b) Um sistema é
(b) Um sistema é