Exercício 0.10 Resolva as inequações abaixo.
3^{\log _{\frac{1}{2}}\left(x^{2}+6 x\right)} \leq \frac{1}{81}

Passo 1

O que o enunciado pede e as informações dadas.
  • O enunciado dá a inequação
3^{\log_{\frac{1}{2}}\!\left(x^{2}+6x\right)} \leq \frac{1}{81}
e pede todos os valores reais de x que a satisfazem.
  • Informação importante de domínio: o logaritmo \log_{\frac{1}{2}}\!\left(x^{2}+6x\right) só está definido quando o argumento é positivo, isto é,
x^{2}+6x>0.
  • Meta: Resolver a inequação respeitando o domínio.

Passo 2

Transformar a inequação usando o logaritmo na base 3 (porque a expressão é 3^{(\cdot)}).
Motivação didática: para comparar potências da mesma base 3 (que é maior que 1), é natural aplicar o logaritmo na base 3. A função y\mapsto 3^{y} é crescente, então aplicar \log_{3} preserva o sentido da desigualdade.
Aplicando \log_{3} em ambos os lados obtemos:
\log_{3}\!\bigl(3^{\log_{\frac{1}{2}}\!(x^{2}+6x)}\bigr) \le \log_{3}\!\left(\frac{1}{81}\right).
Pelo fato de \log_{3}(3^{t})=t, issovira
\log_{\frac{1}{2}}\!(x^{2}+6x) \le \log_{3}\!\left(\frac{1}{81}\right).
Calculemos o termo da direita: \frac{1}{81}=3^{-4}, logo
\log_{3}\!\left(\frac{1}{81}\right)=\log_{3}\!(3^{-4})=-4.
Portanto a inequação equivale a
\log_{\frac{1}{2}}\!(x^{2}+6x) \le -4.

Passo 3

Usar a monotonicidade do logaritmo com base 0<\tfrac{1}{2}<1.
Lembrete didático: para uma base a com 0<a<1, a função y\mapsto \log_{a}(y) é estritamente decrescente. Isso significa que, ao inverter a operação (ou seja, aplicar a exponenciação de base a), o sentido da desigualdade se inverte. Em símbolos:
\log_{a}(Y)\le c \quad\Longleftrightarrow\quad Y \ge a^{c}\quad\text{quando }0<a<1.
Aplicando isso com a=\tfrac{1}{2}, Y=x^{2}+6x e c=-4, obtemos
x^{2}+6x \ge \left(\tfrac{1}{2}\right)^{-4}.
Calculemos a potência:
\left(\tfrac{1}{2}\right)^{-4}=2^{4}=16.
Logo a inequação se transforma em
x^{2}+6x \ge 16,
com a condição de domínio x^{2}+6x>0 ainda valendo (mas veremos que as soluções já satisfazem isso).

Passo 4

Resolver a inequação quadrática
x^{2}+6x-16 \ge 0.
Explicação didática dos passos:
  • Primeiro, calculamos o discriminante da quadrática x^{2}+6x-16:
\Delta = b^{2}-4ac = 6^{2}-4\cdot1\cdot(-16)=36+64=100.
  • A raiz quadrada do discriminante é \sqrt{\Delta}=10. As raízes da equação x^{2}+6x-16=0 são
x=\frac{-6\pm 10}{2}.
Isso dá as raízes
x_{1}=\frac{-6-10}{2}=-8,\qquad x_{2}=\frac{-6+10}{2}=2.
Para uma parábola de coeficiente de x^{2} positivo ( 1>0), a expressão x^{2}+6x-16 é não-negativa fora do intervalo entre as raízes. Portanto
x^{2}+6x-16 \ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x\le -8 \\ \text{ou}\\ x\ge 2.
Agora verificação do domínio: precisamos de x^{2}+6x>0. Observando que para x\le -8 temos x^{2}+6x\ge 16>0 (por exemplo em x=-8 16), e para x\ge 2 também x^{2}+6x\ge 16>0. Assim todas as soluções obtidas respeitam o domínio.
Posso ainda checar um ponto interno como verificação rápida: para x=0 temos x^{2}+6x=0 (não permitido), e para x=-1 dá valor negativo; isso confirma que a solução não inclui pontos entre -8 e 2 (exceto as fronteiras já citadas).

Passo 5

Conclusão final — juntar tudo.
A solução da inequação original, respeitando o domínio do logaritmo, é
x\in (-\infty,-8]\cup[2,\infty).

Resposta

(-\infty,-8]\cup[2,\infty)

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