Exercício 0.10 Resolva as inequações abaixo.
Passo 1
O que o enunciado pede e as informações dadas.
- O enunciado dá a inequação
e pede todos os valores reais de
que a satisfazem.
- Informação importante de domínio: o logaritmo
só está definido quando o argumento é positivo, isto é,
- Meta: Resolver a inequação respeitando o domínio.
Passo 2
Transformar a inequação usando o logaritmo na base
(porque a expressão é
).
Motivação didática: para comparar potências da mesma base
(que é maior que
), é natural aplicar o logaritmo na base
. A função
é crescente, então aplicar
preserva o sentido da desigualdade.
Aplicando
em ambos os lados obtemos:
Pelo fato de
, issovira
Calculemos o termo da direita:
, logo
Portanto a inequação equivale a
Passo 3
Usar a monotonicidade do logaritmo com base
.
Lembrete didático: para uma base
com
, a função
é estritamente decrescente. Isso significa que, ao inverter a operação (ou seja, aplicar a exponenciação de base
), o sentido da desigualdade se inverte. Em símbolos:
Aplicando isso com
,
e
, obtemos
Calculemos a potência:
Logo a inequação se transforma em
com a condição de domínio
ainda valendo (mas veremos que as soluções já satisfazem isso).
Passo 4
Resolver a inequação quadrática
Explicação didática dos passos:
- Primeiro, calculamos o discriminante da quadrática
:
- A raiz quadrada do discriminante é
. As raízes da equação são
Isso dá as raízes
Para uma parábola de coeficiente de
positivo (
), a expressão
é não-negativa fora do intervalo entre as raízes. Portanto
Agora verificação do domínio: precisamos de
. Observando que para
temos
(por exemplo em
dá
), e para
também
. Assim todas as soluções obtidas respeitam o domínio.
Posso ainda checar um ponto interno como verificação rápida: para
temos
(não permitido), e para
dá valor negativo; isso confirma que a solução não inclui pontos entre
e
(exceto as fronteiras já citadas).
Passo 5
Conclusão final — juntar tudo.
A solução da inequação original, respeitando o domínio do logaritmo, é