Exercício 0.9 Resolva as inequações em x
\ln \left(\sqrt{x^{2}-4}\right)<3.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação em x
\ln\!\left(\sqrt{x^{2}-4}\right)<3.
Informações dadas e o que se pede:
  • A expressão dentro do \ln é \sqrt{x^{2}-4}.
  • A tarefa é encontrar todos os x reais que satisfazem a desigualdade acima.

Passo 2

Analisar o domínio da expressão (essa parte é obrigatória porque \ln e \sqrt{\cdot} têm restrições).
  • Para \sqrt{x^{2}-4} existir como número real precisamos de
x^{2}-4 \ge 0.
  • Para \ln(\cdot) estar definido, seu argumento tem de ser estritamente positivo:
\sqrt{x^{2}-4}>0.
Juntando as duas condições: precisamos de x^{2}-4>0, ou seja
x^{2}>4.
Isto significa
x<-2\quad\text{ou}\quad x>2.
Note que x=\pm2 não está permitido porque aí \sqrt{x^{2}-4}=0 e \ln 0 não existe.

Passo 3

Transformar a inequação usando que a função \ln é estritamente crescente. Isto permite aplicar a exponencial e^{(\cdot)} dos dois lados mantendo a desigualdade:
\ln\!\left(\sqrt{x^{2}-4}\right)<3 \quad\Longleftrightarrow\quad \sqrt{x^{2}-4}<e^{3}.
Explicação rápida: por ser crescente, a<b implica e^{a}<e^{b}; aqui a=\ln(\sqrt{x^{2}-4}) e b=3.

Passo 4

Agora que temos \sqrt{x^{2}-4}<e^{3}, observe que ambos os lados são não-negativos (a raiz é \ge0 e e^{3}>0). Podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem mudar o sentido da desigualdade (a função t\mapsto t^{2} é crescente em [0,\infty)):
x^{2}-4 < e^{6}.
Passei de \sqrt{\cdot} para a expressão quadrática dentro da raiz.

Passo 5

Resolver a desigualdade quadrática obtida:
x^{2} < e^{6}+4.
Isto equivale a
-\sqrt{\,e^{6}+4\,}<x<\sqrt{\,e^{6}+4\,}.

Passo 6

Lembrar do domínio (Passo 2): só valem x<-2 ou x>2. Fazemos a interseção entre \left(-\sqrt{e^{6}+4},\;\sqrt{e^{6}+4}\right) e (-\infty,-2)\cup(2,\infty). O resultado é
\bigl(-\sqrt{\,e^{6}+4\,},\,-2\bigr)\;\cup\;\bigl(2,\,\sqrt{\,e^{6}+4\,}\bigr).
Observação: \sqrt{\,e^{6}+4\,}>2, então os intervalos acima são não-vazios e os pontos \pm2 permanecem excluídos (porque o \ln não aceita zero).

Passo 7

Dar uma aproximação numérica para intuição (opcional, mas útil na prova):
  • e^{6}\approx403{,}4288, logo e^{6}+4\approx407{,}4288.
  • \sqrt{e^{6}+4}\approx20{,}185.
    Assim a solução aproximada é (-20{,}185,\,-2)\cup(2,\,20{,}185).

Resposta

\bigl(-\sqrt{\,e^{6}+4\,},\,-2\bigr)\cup\bigl(2,\,\sqrt{\,e^{6}+4\,}\bigr)

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