Exercício 0.9 Resolva as inequações em
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação em
Informações dadas e o que se pede:
- A expressão dentro do
é . - A tarefa é encontrar todos os
reais que satisfazem a desigualdade acima.
Passo 2
Analisar o domínio da expressão (essa parte é obrigatória porque
e
têm restrições).
- Para
existir como número real precisamos de
- Para
estar definido, seu argumento tem de ser estritamente positivo:
Juntando as duas condições: precisamos de
, ou seja
Isto significa
Note que
não está permitido porque aí
e
não existe.
Passo 3
Transformar a inequação usando que a função
é estritamente crescente. Isto permite aplicar a exponencial
dos dois lados mantendo a desigualdade:
Explicação rápida: por ser crescente,
implica
; aqui
e
.
Passo 4
Agora que temos
, observe que ambos os lados são não-negativos (a raiz é
e
). Podemos elevar ambos os lados ao quadrado sem mudar o sentido da desigualdade (a função
é crescente em
):
Passei de
para a expressão quadrática dentro da raiz.
Passo 5
Resolver a desigualdade quadrática obtida:
Isto equivale a
Passo 6
Lembrar do domínio (Passo 2): só valem
ou
. Fazemos a interseção entre
e
. O resultado é
Observação:
, então os intervalos acima são não-vazios e os pontos
permanecem excluídos (porque o
não aceita zero).
Passo 7
Dar uma aproximação numérica para intuição (opcional, mas útil na prova):
-
, logo . -
.
Assim a solução aproximada é.