Para o argumento A=\left(\dfrac{x-5}{2x-3}\right)^{2} ser positivo: como é um quadrado, A\ge 0 sempre, mas o log exige A>0. Então precisamos que a fração \dfrac{x-5}{2x-3} não seja zero nem indefinida. Assim:
não pode ser zero: x\neq 5;
não pode ter denominador zero: 2x-3\neq 0 \Rightarrow x\neq \tfrac{3}{2}.
Essas são as condições que qualquer solução deve satisfazer.
Passo 3
Entender o comportamento do logaritmo: para b>0, b\neq 1, e A>0,
se b>1 então \log_b A>0 \Longleftrightarrow A>1;
se 0<b<1 então \log_b A>0 \Longleftrightarrow 0<A<1.
Explicando de forma prática: quando a base é maior que 1 o logaritmo é crescente, então pedir log >0 significa pedir o argumento maior que 1. Quando a base está entre 0 e 1 o logaritmo é decrescente, então pedir log >0 significa pedir o argumento menor que 1 (mas positivo).
No nosso caso A=\left(\dfrac{x-5}{2x-3}\right)^{2}, que é sempre positiva (no domínio), então vamos separar os casos conforme a base ser maior que 1 ou menor que 1.
Passo 4
Identificar onde a base é maior que 1 ou está entre 0 e 1.
Novamente estamos no caso (I) x>-\tfrac{3}{2}, então esta solução é válida tal qual, com exclusão de x=\tfrac{3}{2}.
Passo 8
Combinar as duas desigualdades do caso (I):
Da Passo 6 obtivemos \left(-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\right) e da Passo 7 obtivemos \left(\tfrac{3}{2},\tfrac{8}{3}\right). Juntando:
\text{solução em }(I):\quad \left(-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\right)\cup\left(\tfrac{3}{2},\tfrac{8}{3}\right)çã
ou, de forma concisa, \left(-\tfrac{3}{2},\tfrac{8}{3}\right) excluindo x=\tfrac{3}{2}. Note que x=\tfrac{8}{3} não entra pois aí a expressão seria igual a 1 (log = 0).
Passo 9
Caso (II): -\tfrac{5}{2}<x<-\tfrac{3}{2}, isto é 0<b<1. Nesse caso a inequação exige