Exercício 0.10 Resolva as inequações abaixo.
\log _{\frac{2 x+5}{2}}\left(\frac{x-5}{2 x-3}\right)^{2}>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\log_{\frac{2x+5}{2}}\left(\frac{x-5}{2x-3}\right)^{2} > 0.
O que devemos encontrar é o conjunto de valores de x que tornam essa desigualdade verdadeira.
Informações relevantes dadas pelo enunciado (que vamos usar depois):
  • a base do logaritmo é b=\dfrac{2x+5}{2};
  • o argumento do logaritmo é \left(\dfrac{x-5}{2x-3}\right)^{2}.
Além disso, para que a expressão faça sentido (domínio do logaritmo), são necessárias condições sobre x que vamos detalhar no próximo passo.

Passo 2

Definir o domínio da expressão: para \log_{b}(A) estar definida é preciso que b>0, b\neq 1 e A>0.
Aplicando isso ao problema:
  • Para a base b=\dfrac{2x+5}{2} valer >0:
\frac{2x+5}{2}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x+5>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x>-\tfrac{5}{2}.
  • Para a base não ser 1:
\frac{2x+5}{2}\neq 1 \quad\Longleftrightarrow\quad 2x+5\neq 2 \quad\Longleftrightarrow\quad x\neq -\tfrac{3}{2}.
  • Para o argumento A=\left(\dfrac{x-5}{2x-3}\right)^{2} ser positivo: como é um quadrado, A\ge 0 sempre, mas o log exige A>0. Então precisamos que a fração \dfrac{x-5}{2x-3} não seja zero nem indefinida. Assim:
    • não pode ser zero: x\neq 5;
    • não pode ter denominador zero: 2x-3\neq 0 \Rightarrow x\neq \tfrac{3}{2}.
Reunindo as restrições de domínio:
x>-\tfrac{5}{2},\qquad x\neq -\tfrac{3}{2},\qquad x\neq \tfrac{3}{2},\qquad x\neq 5.
Essas são as condições que qualquer solução deve satisfazer.

Passo 3

Entender o comportamento do logaritmo: para b>0, b\neq 1, e A>0,
  • se b>1 então \log_b A>0 \Longleftrightarrow A>1;
  • se 0<b<1 então \log_b A>0 \Longleftrightarrow 0<A<1.
Explicando de forma prática: quando a base é maior que 1 o logaritmo é crescente, então pedir log >0 significa pedir o argumento maior que 1. Quando a base está entre 0 e 1 o logaritmo é decrescente, então pedir log >0 significa pedir o argumento menor que 1 (mas positivo).
No nosso caso A=\left(\dfrac{x-5}{2x-3}\right)^{2}, que é sempre positiva (no domínio), então vamos separar os casos conforme a base ser maior que 1 ou menor que 1.

Passo 4

Identificar onde a base é maior que 1 ou está entre 0 e 1.
A base é
b=\frac{2x+5}{2}.
  • b>1 \Longleftrightarrow \dfrac{2x+5}{2}>1 \Longleftrightarrow 2x+5>2 \Longleftrightarrow x>-\tfrac{3}{2}.
  • 0<b<1 \Longleftrightarrow -\tfrac{5}{2}<x<-\tfrac{3}{2}.
Lembrete: x\neq -\tfrac{3}{2} pela condição b\neq 1. Assim os dois casos a analisar são:
  • Caso (I): x>-\tfrac{3}{2} (base >1);
  • Caso (II): -\tfrac{5}{2}<x<-\tfrac{3}{2} (base entre 0 e 1).

Passo 5

Caso (I): x>-\tfrac{3}{2}, então b>1 e a inequação vira
\left(\frac{x-5}{2x-3}\right)^{2}>1.
Isso é equivalente a \left|\dfrac{x-5}{2x-3}\right|>1, ou seja duas possibilidades:
\frac{x-5}{2x-3}>1 \quad\text{ou}\quad \frac{x-5}{2x-3}<-1.
Vamos resolver cada uma.

Passo 6

Resolver \dfrac{x-5}{2x-3}>1.
Fazemos a diferença:
\frac{x-5}{2x-3}-1=\frac{x-5-(2x-3)}{2x-3}=\frac{-x-2}{2x-3}.
Então \dfrac{x-5}{2x-3}>1 é equivalente a
\frac{-x-2}{2x-3}>0 \quad\Longleftrightarrow\quad \frac{x+2}{2x-3}<0.
Analisando o sinal de \dfrac{x+2}{2x-3}: zeros em x=-2 e x=\tfrac{3}{2}. Fazendo o quadro de sinais, o quociente é negativo quando
-2<x<\tfrac{3}{2}.
Lembrando que no caso (I) temos x>-\tfrac{3}{2}, então a interseção dá
- \tfrac{3}{2} < x < \tfrac{3}{2}.
Também temos que excluir x=\tfrac{3}{2} (denominador), então essa solução parcial é \left(-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\right).

Passo 7

Resolver \dfrac{x-5}{2x-3}<-1.
Fazemos soma:
\frac{x-5}{2x-3}+1=\frac{x-5+(2x-3)}{2x-3}=\frac{3x-8}{2x-3}.
Então \dfrac{x-5}{2x-3}<-1 equivale a
\frac{3x-8}{2x-3}<0.
Os pontos críticos são x=\tfrac{3}{2} e x=\tfrac{8}{3}. Fazendo o quadro de sinais, obtemos
\frac{3x-8}{2x-3}<0 \quad\Longleftrightarrow\quad \tfrac{3}{2}<x<\tfrac{8}{3}.
Novamente estamos no caso (I) x>-\tfrac{3}{2}, então esta solução é válida tal qual, com exclusão de x=\tfrac{3}{2}.

Passo 8

Combinar as duas desigualdades do caso (I):
Da Passo 6 obtivemos \left(-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\right) e da Passo 7 obtivemos \left(\tfrac{3}{2},\tfrac{8}{3}\right). Juntando:
\text{solução em }(I):\quad \left(-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\right)\cup\left(\tfrac{3}{2},\tfrac{8}{3}\right)çã
ou, de forma concisa, \left(-\tfrac{3}{2},\tfrac{8}{3}\right) excluindo x=\tfrac{3}{2}. Note que x=\tfrac{8}{3} não entra pois aí a expressão seria igual a 1 (log = 0).

Passo 9

Caso (II): -\tfrac{5}{2}<x<-\tfrac{3}{2}, isto é 0<b<1. Nesse caso a inequação exige
\left(\frac{x-5}{2x-3}\right)^{2}<1.
Usamos a identidade de diferença de quadrados:
\left(\frac{x-5}{2x-3}\right)^{2}<1 \Longleftrightarrow (x-5)^2<(2x-3)^2.
Isto é equivalente a
(x-5)^2-(2x-3)^2<0 \Longleftrightarrow (-x-2)(3x-8)<0.
Multiplicando por -1 (inverte o sinal) obtemos
(x+2)(3x-8)>0.
Analisando o sinal com pontos críticos x=-2 e x=\tfrac{8}{3}, a desigualdade é satisfeita para
x<-2 \quad\text{ou}\quad x>\tfrac{8}{3}.
Agora intersectamos com o intervalo do caso (II), -\tfrac{5}{2}<x<-\tfrac{3}{2}. A interseção é
(-\tfrac{5}{2},-\tfrac{3}{2})\cap(-\infty,-2)=(-\tfrac{5}{2},-2).
Logo a solução no caso (II) é -\tfrac{5}{2}<x<-2.

Passo 10

Reunir as soluções dos dois casos e lembrar das exclusões do domínio ( x\neq -\tfrac{3}{2}, x\neq \tfrac{3}{2}, x\neq 5).
  • Do caso (II) temos \left(-\tfrac{5}{2},-2\right).
  • Do caso (I) temos \left(-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\right)\cup\left(\tfrac{3}{2},\tfrac{8}{3}\right).
Unindo tudo e observando que \tfrac{3}{2} não pertence (denominador zero) e -\tfrac{3}{2} não pertence (base =1), obtemos a solução final:
\left(-\tfrac{5}{2},-2\right)\\ \cup\\ \left(-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\right)\\ \cup\\ \left(\tfrac{3}{2},\tfrac{8}{3}\right).

Resposta

\left(-\tfrac{5}{2},-2\right)\cup\left(-\tfrac{3}{2},\tfrac{3}{2}\right)\cup\left(\tfrac{3}{2},\tfrac{8}{3}\right)

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