Exercício 0.10 Resolva as inequações abaixo.
\log _{2}(x-1) \log _{\frac{1}{2}}(3 x-4)>0

Passo 1

O enunciado dá a inequação
\log_{2}(x-1)\,\log_{\tfrac{1}{2}}(3x-4)>0.
Pergunta-se: para quais valores de x essa desigualdade é verdadeira?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Os argumentos dos logaritmos devem ser positivos, ou seja: x-1>0\quad\text{e}\quad 3x-4>0.
  • A desigualdade é estrita (">0"), então pontos em que algum dos fatores é zero não podem ser solução.
  • A base \tfrac{1}{2} é menor que 1, o que muda o sinal ao relacioná-la com logaritmos em base 2 (vamos explorar isso nos próximos passos).

Passo 2

Determinar o domínio (condições de existência) da expressão antes de qualquer manipulação.
Das condições x-1>0 e 3x-4>0 obtemos:
x>1\quad\text{e}\quad x>\tfrac{4}{3}.
A condição mais forte é x>\tfrac{4}{3}. Portanto a inequação só pode ter soluções com
x>\tfrac{4}{3}.

Passo 3

Simplificar a expressão envolvendo \log_{\tfrac{1}{2}}(3x-4) usando mudança de base.
Lembre que, para a>0, a\neq1,
\log_a y=\frac{\log_2 y}{\log_2 a}.
Aplicando com a=\tfrac{1}{2} (e \log_2\tfrac{1}{2}=-1), temos
\log_{\tfrac{1}{2}}(3x-4)=\frac{\log_2(3x-4)}{\log_2(\tfrac{1}{2})}=\frac{\log_2(3x-4)}{-1}=-\log_2(3x-4).

Passo 4

Substituir na inequação e rearranjar.
Substituindo o resultado do passo anterior na inequação original:
\log_2(x-1)\,\bigl(-\log_2(3x-4)\bigr)>0.
Isso é o mesmo que
-\log_2(x-1)\,\log_2(3x-4)>0.
Multiplicando por -1 e invertendo o sinal da desigualdade, obtemos
\log_2(x-1)\,\log_2(3x-4)<0.
Explicação didática rápida: a troca de sinal acontece porque multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo inverte a desigualdade.

Passo 5

Interpretação da desigualdade transformada.
Temos que o produto de duas quantidades \log_2(x-1) e \log_2(3x-4) é negativo. Isso significa que essas duas quantidades têm sinais opostos: uma é positiva e a outra é negativa. Vamos considerar as duas possibilidades separadamente.
Além disso, uso duas propriedades básicas do logaritmo em base 2 (base maior que 1):
  • \log_2 t>0 se, e somente se, t>1.
  • \log_2 t<0 se, e somente se, 0<t<1.

Passo 6

Caso 1: [\log_2(x-1)>0) e \log_2(3x-4)<0.
Tradução para desigualdades dos argumentos:
\log_2(x-1)>0 \Longleftrightarrow x-1>1 \Longleftrightarrow x>2,
\log_2(3x-4)<0 \Longleftrightarrow 0<3x-4<1 \Longleftrightarrow \begin{cases}3x-4>0\\\ 3x-4<1\end{cases}
As duas desigualdades juntas dão
x>\tfrac{4}{3}\quad\text{e}\quad 3x<5\Longleftrightarrow x<\tfrac{5}{3}.
Combinando com x>2\] (da primeira condição) temos \(x>2 e x<\tfrac{5}{3} simultaneamente, o que é impossível. Logo, o Caso 1 não produz solução.

Passo 7

Caso 2: \log_2(x-1)<0 e \log_2(3x-4)>0.
Traduzindo:
\log_2(x-1)<0 \Longleftrightarrow 0<x-1<1 \Longleftrightarrow 1<x<2,
\log_2(3x-4)>0 \Longleftrightarrow 3x-4>1 \Longleftrightarrow 3x>5 \Longleftrightarrow x>\tfrac{5}{3}.
Agora fazemos a interseção dessas condições e também lembramos do domínio x>\tfrac{4}{3}:
1<x<2 \quad\text{e}\quad x>\tfrac{5}{3}.
A interseção é
\tfrac{5}{3}<x<2.
Note que os extremos x=\tfrac{5}{3} e x=2 não podem ser incluídos porque em x=\tfrac{5}{3} um dos logaritmos é zero ( 3x-4=1) e em x=2 o outro é zero ( x-1=1), e a desigualdade é estrita.

Passo 8

Concluir a solução juntando os resultados dos dois casos e respeitando o domínio.
Do passo 6 não veio solução; do passo 7 veio a solução
\tfrac{5}{3}<x<2.
Portanto a solução final da inequação é esse intervalo.

Resposta

x\in\left(\tfrac{5}{3},2\right)

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