Exercício 0.10 Resolva as inequações abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a inequação
Pergunta-se: para quais valores de
essa desigualdade é verdadeira?
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Os argumentos dos logaritmos devem ser positivos, ou seja:
- A desigualdade é estrita (">0"), então pontos em que algum dos fatores é zero não podem ser solução.
- A base
é menor que , o que muda o sinal ao relacioná-la com logaritmos em base (vamos explorar isso nos próximos passos).
Passo 2
Determinar o domínio (condições de existência) da expressão antes de qualquer manipulação.
Das condições
e
obtemos:
A condição mais forte é
. Portanto a inequação só pode ter soluções com
Passo 3
Simplificar a expressão envolvendo
usando mudança de base.
Lembre que, para
,
,
Aplicando com
(e
), temos
Passo 4
Substituir na inequação e rearranjar.
Substituindo o resultado do passo anterior na inequação original:
Isso é o mesmo que
Multiplicando por
e invertendo o sinal da desigualdade, obtemos
Explicação didática rápida: a troca de sinal acontece porque multiplicar ambos os lados de uma desigualdade por um número negativo inverte a desigualdade.
Passo 5
Interpretação da desigualdade transformada.
Temos que o produto de duas quantidades
e
é negativo. Isso significa que essas duas quantidades têm sinais opostos: uma é positiva e a outra é negativa. Vamos considerar as duas possibilidades separadamente.
Além disso, uso duas propriedades básicas do logaritmo em base
(base maior que
):
-
se, e somente se, . -
se, e somente se, .
Passo 6
Caso 1: [\log_2(x-1)>0) e
.
Tradução para desigualdades dos argumentos:
As duas desigualdades juntas dão
Combinando com
e
simultaneamente, o que é impossível. Logo, o Caso 1 não produz solução.
Passo 7
Caso 2:
e
.
Traduzindo:
Agora fazemos a interseção dessas condições e também lembramos do domínio
:
A interseção é
Note que os extremos
e
não podem ser incluídos porque em
um dos logaritmos é zero (
) e em
o outro é zero (
), e a desigualdade é estrita.
Passo 8
Concluir a solução juntando os resultados dos dois casos e respeitando o domínio.
Do passo 6 não veio solução; do passo 7 veio a solução
Portanto a solução final da inequação é esse intervalo.