Exercício 0.10 Resolva as inequações abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações e condições dadas (importantes para o domínio):
- O argumento do logaritmo deve ser positivo:
. - A base do logaritmo deve ser positiva e diferente de
: e .
Passo 2
Vamos achar o domínio imposto pela condição do argumento positivo.
Para resolver calculamos as raízes do polinômio quadrático.
O discriminante é
Para resolver
O discriminante é
As raízes são
ou seja
e
.
Como o coeficiente de é positivo (
), o polinômio é positivo fora do intervalo entre as raízes. Logo
Como o coeficiente de
Agora intersectamos com a condição da base do logaritmo (
e
). Como
está contido em
, concluímos que, para bases válidas,
o argumento já é positivo para todo . Portanto o domínio candidato é
o argumento já é positivo para todo
Passo 3
Explicação sobre a propriedade que vamos usar: monotonicidade do logaritmo.
- Se a base
satisfaz , então a função é crescente: se então . - Se
, então é decrescente: se então .
Aplicação direta à inequação
:
- Se
(base maior que ), podemos aplicar a função exponencial de base aos dois lados sem inverter o sinal:
- Se
(base entre e ), a desigualdade inverte ao aplicar :
Passo 4
Resolver o caso
.
Partindo de
Partindo de
subtraímos
dos dois lados:
Fatorando por
:
Reconhecemos um quadrado perfeito:
Assim a desigualdade vira
Um quadrado é sempre não negativo e só é zero em
. Como estamos no caso
, temos
e portanto
vale para todo
. Conclusão parcial: todo
em
satisfaz a inequação.
Passo 5
Resolver o caso
.
Partindo de
Partindo de
subtraímos
:
Dividindo por
:
Novamente temos
Mas um quadrado real nunca é negativo;
para todo
, e
apenas em
(fora do intervalo
). Portanto não existe
que satisfaça
. Conclusão: não há soluções no intervalo
.
Passo 6
Juntando os dois casos e lembrando do domínio (
e
):
- Do caso
obtivemos que toda é solução. - Do caso
não há soluções.
Portanto a solução final da inequação é o intervalo