Exercício 0.10 Resolva as inequações abaixo.
\log _{x}\left(2 x^{2}+5 x+2\right)>1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\log_{x}\!\bigl(2x^{2}+5x+2\bigr)>1.
Informações e condições dadas (importantes para o domínio):
  • O argumento do logaritmo deve ser positivo: \;2x^{2}+5x+2>0.
  • A base do logaritmo deve ser positiva e diferente de 1: \;x>0 e x\neq1.

Passo 2

Vamos achar o domínio imposto pela condição do argumento positivo.
Para resolver \;2x^{2}+5x+2>0 calculamos as raízes do polinômio quadrático.
O discriminante é
\Delta = 5^{2}-4\cdot2\cdot2 = 25-16 = 9.
As raízes são
x = \frac{-5\pm\sqrt{9}}{2\cdot2} = \frac{-5\pm3}{4},
ou seja \;x=-2 e \;x=-\tfrac{1}{2}.
Como o coeficiente de x^{2} é positivo ( 2), o polinômio é positivo fora do intervalo entre as raízes. Logo
2x^{2}+5x+2>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x<-2\\ \text{ou}\\ x>-\tfrac{1}{2}.
Agora intersectamos com a condição da base do logaritmo ( x>0 e x\neq1). Como x>0 está contido em x>-\tfrac{1}{2}, concluímos que, para bases válidas,
o argumento já é positivo para todo x>0. Portanto o domínio candidato é
x>0,\quad x\neq1.

Passo 3

Explicação sobre a propriedade que vamos usar: monotonicidade do logaritmo.
  • Se a base b satisfaz \;b>1, então a função f(t)=\log_{b}(t) é crescente: se A>B>0 então \log_{b}A>\log_{b}B.
  • Se 0<b<1, então f(t)=\log_{b}(t) é decrescente: se A>B>0 então \log_{b}A<\log_{b}B.
Aplicação direta à inequação \log_{x}\!(2x^{2}+5x+2)>1:
  • Se x>1 (base maior que 1), podemos aplicar a função exponencial de base x aos dois lados sem inverter o sinal:
\log_{x}\!(2x^{2}+5x+2)>1 \Longleftrightarrow 2x^{2}+5x+2>x^{1}=x.
  • Se 0<x<1 (base entre 0 e 1), a desigualdade inverte ao aplicar x^{(\cdot)}:
\log_{x}\!(2x^{2}+5x+2)>1 \Longleftrightarrow 2x^{2}+5x+2<x.

Passo 4

Resolver o caso x>1.
Partindo de
2x^{2}+5x+2>x,
subtraímos x dos dois lados:
2x^{2}+4x+2>0.
Fatorando por 2:
2\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)>0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}+2x+1>0.
Reconhecemos um quadrado perfeito:
x^{2}+2x+1=(x+1)^{2}.
Assim a desigualdade vira
(x+1)^{2}>0.
Um quadrado é sempre não negativo e só é zero em x=-1. Como estamos no caso x>1, temos x\neq-1 e portanto (x+1)^{2}>0 vale para todo x>1. Conclusão parcial: todo x em (1,\infty) satisfaz a inequação.

Passo 5

Resolver o caso 0<x<1.
Partindo de
2x^{2}+5x+2<x,
subtraímos x:
2x^{2}+4x+2<0.
Dividindo por 2:
x^{2}+2x+1<0.
Novamente temos
(x+1)^{2}<0.
Mas um quadrado real nunca é negativo; (x+1)^{2}\ge0 para todo x, e (x+1)^{2}=0 apenas em x=-1 (fora do intervalo 0<x<1). Portanto não existe x\in(0,1) que satisfaça (x+1)^{2}<0. Conclusão: não há soluções no intervalo (0,1).

Passo 6

Juntando os dois casos e lembrando do domínio ( x>0 e x\neq1):
  • Do caso x>1 obtivemos que toda x\in(1,\infty) é solução.
  • Do caso 0<x<1 não há soluções.
    Portanto a solução final da inequação é o intervalo
(1,\infty).

Resposta

(1,\infty)

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