Exercício 0.10 Resolva as inequações abaixo.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- O enunciado pede para resolver a inequação
. - Informação implícita de domínio: para
estar definido e para a potência fazer sentido real, precisamos de . Além disso porque aparece no denominador; logo . - Observação sobre notação: vou assumir que
é o logaritmo natural (ou seja, ). Com essa escolha os argumentos abaixo funcionam diretamente.
Passo 2
Analisar o domínio com mais calma (isto evita ciladas na prova).
- Para
existir no conjunto dos reais precisamos de . - Para
existir precisamos também de , ou seja . - Conclusão do domínio inicial:
e . Só estes tornam a expressão bem definida (em reias).
Passo 3
Usar uma identidade básica de exponenciais/logaritmos que vai simplificar tudo: para qualquer base positiva
e expoente real
vale
.
Aplicando com
e
(e lembrando que
), temos
Como
no domínio considerado, o produto no expoente simplifica:
portanto
Explicação didática curta: a operação explícita foi escrever a potência como exponencial base
e cancelar
no numerador e denominador — por isso a expressão dá sempre
para qualquer
,
.
Passo 4
Substituir essa simplificação na inequação original. A inequação
torna-se, para
e
,
Isso é agora uma inequação simples em
.
Passo 5
Resolver a inequação linear em
.
- Dividindo ambos os lados por
(note que dividir por número positivo não inverte o sentido da desigualdade):
- Agora aplicamos a função exponencial (a função
é estritamente crescente), então conservará a desigualdade ao “elevar” ambos os lados:
Portanto a condição obtida a partir da inequação simplificada é
, lembrando sempre o domínio
e
.
Passo 6
Juntar tudo e apresentar a solução final cuidando das exclusões de domínio.
- Temos de
e , e também . - A inequação corresponde a
, com a remoção do ponto (pois ali a expressão original não está definida).
Podemos escrever isso como união de intervalos:
Observação final: em
a desigualdade não vale porque aí
(igualdade), e a inequação é estrita.