Exercício 0.10 Resolva as inequações abaixo.
x^{\frac{1}{\log x}} \log x<1

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • O enunciado pede para resolver a inequação \,x^{\frac{1}{\log x}}\log x<1\,.
  • Informação implícita de domínio: para \log x estar definido e para a potência x^{\frac{1}{\log x}} fazer sentido real, precisamos de x>0. Além disso \log x\neq0 porque aparece no denominador; logo x\neq1.
  • Observação sobre notação: vou assumir que \log é o logaritmo natural (ou seja, \log x=\ln x). Com essa escolha os argumentos abaixo funcionam diretamente.

Passo 2

Analisar o domínio com mais calma (isto evita ciladas na prova).
  • Para \log x existir no conjunto dos reais precisamos de x>0.
  • Para \dfrac{1}{\log x} existir precisamos também de \log x\neq0, ou seja x\neq1.
  • Conclusão do domínio inicial: x>0 e x\neq1. Só estes x tornam a expressão bem definida (em reias).

Passo 3

Usar uma identidade básica de exponenciais/logaritmos que vai simplificar tudo: para qualquer base positiva a e expoente real b vale a^{b}=e^{b\ln a}.
Aplicando com a=x e b=\dfrac{1}{\log x} (e lembrando que \log x=\ln x), temos
x^{\frac{1}{\log x}} = e^{\frac{1}{\ln x}\cdot \ln x}.
Como \ln x\neq0 no domínio considerado, o produto no expoente simplifica:
\frac{1}{\ln x}\cdot \ln x = 1,
portanto
x^{\frac{1}{\log x}} = e.
Explicação didática curta: a operação explícita foi escrever a potência como exponencial base e e cancelar \ln x no numerador e denominador — por isso a expressão dá sempre e para qualquer x>0, x\neq1.

Passo 4

Substituir essa simplificação na inequação original. A inequação
x^{\frac{1}{\log x}}\log x<1
torna-se, para x>0 e x\neq1,
e\cdot \log x<1.
Isso é agora uma inequação simples em \log x.

Passo 5

Resolver a inequação linear em \log x.
  • Dividindo ambos os lados por e>0 (note que dividir por número positivo não inverte o sentido da desigualdade):
\log x < \frac{1}{e}.
  • Agora aplicamos a função exponencial (a função y\mapsto e^y é estritamente crescente), então conservará a desigualdade ao “elevar” ambos os lados:
x < e^{\frac{1}{e}}.
Portanto a condição obtida a partir da inequação simplificada é \,x<e^{\frac{1}{e}}\,, lembrando sempre o domínio x>0 e x\neq1.

Passo 6

Juntar tudo e apresentar a solução final cuidando das exclusões de domínio.
  • Temos de x>0 e \log x<\dfrac{1}{e}, e também x\neq1.
  • A inequação corresponde a 0<x<e^{\frac{1}{e}}, com a remoção do ponto x=1 (pois ali a expressão original não está definida).
Podemos escrever isso como união de intervalos:
(0,1)\cup\bigl(1,e^{\frac{1}{e}}\bigr).
Observação final: em x=e^{\frac{1}{e}} a desigualdade não vale porque aí e\log x=1 (igualdade), e a inequação é estrita.

Resposta

(0,1)\cup\bigl(1,e^{\frac{1}{e}}\bigr)

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