Exercício 0.10 Resolva as inequações abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações relevantes fornecidas:
- A incógnita é
. - A inequação envolve logaritmos em duas bases diferentes:
e . - Preciso encontrar todos os
que satisfazem a inequação.
Passo 2
Primeira observação obrigatória (domínio): os logaritmos
e
só estão definidos quando
. Portanto qualquer solução deve satisfazer
Passo 3
Vamos reescrever os logaritmos numa mesma base para poder manipulá-los. A fórmula que usamos é a mudança de base:
onde
é o logaritmo natural. Aqui cada símbolo significa:
-
é a base do logaritmo (aqui ou ), -
é o argumento do logaritmo, -
é o logaritmo natural de .
Aplicando isso:
Passo 4
Substituindo essas expressões na inequação original obtemos
Agora fatoramos
em evidência:
Passo 5
Vamos simplificar o coeficiente que multiplica
. Colocando em denominador comum:
Note que
porque
, e
,
; portanto o denominador
é positivo e o quociente
é um número negativo.
Passo 6
Como o coeficiente é negativo, ao dividir ambos os lados da inequação por ele o sentido da desigualdade se inverte. Assim:
Lembre-se do domínio
.
Passo 7
Aplicando a função exponencial (que é estritamente crescente) em ambos os lados, obtemos
Juntando com
, o conjunto solução é
Passo 8
Para dar uma ideia numérica (apenas para intuição), aproximando
,
e
, temos
e portanto
Ou seja, numericamente a solução é aproximadamente
.