Exercício 0.10 Resolva as inequações abaixo.
\log _{\frac{1}{2}} x+\log _{3} x>1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\log_{\frac{1}{2}} x + \log_{3} x > 1.
Informações relevantes fornecidas:
  • A incógnita é x.
  • A inequação envolve logaritmos em duas bases diferentes: \frac{1}{2} e 3.
  • Preciso encontrar todos os x que satisfazem a inequação.

Passo 2

Primeira observação obrigatória (domínio): os logaritmos \log_{\frac{1}{2}} x e \log_{3} x só estão definidos quando x>0. Portanto qualquer solução deve satisfazer
x>0.

Passo 3

Vamos reescrever os logaritmos numa mesma base para poder manipulá-los. A fórmula que usamos é a mudança de base:
\log_a x = \frac{\ln x}{\ln a},
onde \ln é o logaritmo natural. Aqui cada símbolo significa:
  • a é a base do logaritmo (aqui a=\tfrac{1}{2} ou a=3),
  • x é o argumento do logaritmo,
  • \ln x é o logaritmo natural de x.
Aplicando isso:
\log_{\frac{1}{2}} x = \frac{\ln x}{\ln(1/2)} = -\frac{\ln x}{\ln 2}, \qquad \log_{3} x = \frac{\ln x}{\ln 3}.

Passo 4

Substituindo essas expressões na inequação original obtemos
-\frac{\ln x}{\ln 2} + \frac{\ln x}{\ln 3} > 1.
Agora fatoramos \ln x em evidência:
\left(-\frac{1}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 3}\right)\ln x > 1.

Passo 5

Vamos simplificar o coeficiente que multiplica \ln x. Colocando em denominador comum:
-\frac{1}{\ln 2} + \frac{1}{\ln 3} = \frac{-\ln 3 + \ln 2}{\ln 2 \, \ln 3} = \frac{\ln(2/3)}{\ln 2 \, \ln 3}.
Note que \ln(2/3)<0 porque 2/3<1, e \ln 2>0, \ln 3>0; portanto o denominador \ln 2\,\ln 3 é positivo e o quociente
\frac{\ln(2/3)}{\ln 2 \, \ln 3}
é um número negativo.

Passo 6

Como o coeficiente é negativo, ao dividir ambos os lados da inequação por ele o sentido da desigualdade se inverte. Assim:
\ln x < \frac{\ln 2 \, \ln 3}{\ln(2/3)}.
Lembre-se do domínio x>0.

Passo 7

Aplicando a função exponencial (que é estritamente crescente) em ambos os lados, obtemos
x < \exp\!\left(\frac{\ln 2 \, \ln 3}{\ln(2/3)}\right).
Juntando com x>0, o conjunto solução é
0 < x < \exp\!\left(\frac{\ln 2 \, \ln 3}{\ln(2/3)}\right).

Passo 8

Para dar uma ideia numérica (apenas para intuição), aproximando \ln 2\approx0{,}6931, \ln 3\approx1{,}0986 e \ln(2/3)\approx-0{,}405465, temos
\frac{\ln 2 \, \ln 3}{\ln(2/3)}\approx -1{,}876\ldots
e portanto
\exp\!\left(\frac{\ln 2 \, \ln 3}{\ln(2/3)}\right)\approx 0{,}153\ldots
Ou seja, numericamente a solução é aproximadamente 0<x<0{,}153.

Resposta

0 < x < \exp\!\left(\dfrac{\ln 2 \, \ln 3}{\ln(2/3)}\right) 0<x<0{,}153

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