Exercício 0.10 Resolva as inequações abaixo.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a inequação
Informações que temos e hipóteses que vou usar (peguei tudo do enunciado):
- A expressão escrita é a do logaritmo do produto
, ou seja estamos resolvendo . - Não foi dada a base do
. Vou assumir a convenção usual de escola/universidade: a base é maior que (por exemplo ). Essa hipótese é importante porque, para base , a função logaritmo é estritamente crescente e a inequação transfere diretamente para o argumento. Se a base fosse entre e a desigualdade se inverteria; como isso não foi dito, trabalha-se com base . - O que se pede é o conjunto de
reais que satisfazem a desigualdade.
Passo 2
Condição de existência (domínio) do logaritmo:
- O logaritmando deve ser estritamente positivo. Portanto precisamos de
Vamos estudar essa condição primeiro.
Passo 3
Resolver
:
- Note que
para todo , e somente em . - Para
temos , então o sinal do produto é o sinal de . - Assim
quando e , isto é quando e . - Pontos em que o produto é zero são
e ; nesses pontos o logaritmo não existe (argumento não é positivo). - Conclusão do domínio:
Passo 4
Transformar a inequação usando monotonicidade do
:
- Assumindo base
, a função é estritamente crescente em . Então
- Tomando a base
(convenção de log comum) a inequação fica
(Se a base fosse outra
, trocar
por
e o raciocínio é análogo.)
Passo 5
Reduzir a inequação a uma inequação polinomial:
- Escrevendo o polinômio:
- A inequação
é equivalente a
Vamos estudar o sinal do polinômio cúbico
Passo 6
Análise do sinal de
:
- Observar o comportamento:
e , logo existe pelo menos uma raiz real. - Calcular derivada para ver possíveis extremos:
As derivadas nulas dão
e
. Avaliando
nesses pontos:
Portanto os extremos locais (máximo em
e mínimo em
) são ambos negativos. Isso implica que o polinômio cruza o eixo
apenas uma vez (apenas uma raiz real) e é negativo para todos os
menores que essa raiz e positivo para
maiores que essa raiz.
Passo 7
Encontrar numericamente a raiz real positiva
de
:
- Procuramos
tal que . - Testes simples:
-
. -
.
Logo a raiz está em.
-
- Fazer bissecção rápida para três casas decimais:
-
(negativo). -
(positivo).
Raiz em. - Testando
obtém-se (ligeiramente negativo). - Testando
obtém-se (ligeiramente positivo).
Logo a raiz está entree .
-
- Tomando aproximação com três casas decimais:
Passo 8
Intersecção com o domínio e conclusão da solução:
- Já sabemos que
para e para . - A inequação original pede
e, além disso, deve estar no domínio . - Interseção:
- Para
temos de fato (pois ), então todo está na solução. - Para
precisamos também de . Assim, da parte positiva fica .
- Para
- Não incluímos os pontos
, e porque em e o logaritmando é zero (não permitido) e em a desigualdade seria (igualdade), mas queremos estrita .