Exercício 0.10 Resolva as inequações abaixo.
\log x^{2}(x+2)<1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a inequação
\log x^{2}(x+2)<1.
Informações que temos e hipóteses que vou usar (peguei tudo do enunciado):
  • A expressão escrita é a do logaritmo do produto x^{2}(x+2), ou seja estamos resolvendo \log\bigl(x^{2}(x+2)\bigr)<1.
  • Não foi dada a base do \log. Vou assumir a convenção usual de escola/universidade: a base é maior que 1 (por exemplo 10). Essa hipótese é importante porque, para base >1, a função logaritmo é estritamente crescente e a inequação transfere diretamente para o argumento. Se a base fosse entre 0 e 1 a desigualdade se inverteria; como isso não foi dito, trabalha-se com base >1.
  • O que se pede é o conjunto de x reais que satisfazem a desigualdade.

Passo 2

Condição de existência (domínio) do logaritmo:
  • O logaritmando deve ser estritamente positivo. Portanto precisamos de
x^{2}(x+2)>0.
Vamos estudar essa condição primeiro.

Passo 3

Resolver x^{2}(x+2)>0:
  • Note que x^{2}\ge 0 para todo x, e x^{2}=0 somente em x=0.
  • Para x\neq 0 temos x^{2}>0, então o sinal do produto é o sinal de (x+2).
  • Assim x^{2}(x+2)>0 quando x\neq 0 e x+2>0, isto é quando x>-2 e x\neq 0.
  • Pontos em que o produto é zero são x=0 e x=-2; nesses pontos o logaritmo não existe (argumento não é positivo).
  • Conclusão do domínio:
\text{o domínio é }(-2,0)\cup(0,\infty).íé

Passo 4

Transformar a inequação usando monotonicidade do \log:
  • Assumindo base a>1, a função y=\log_a(t) é estritamente crescente em t>0. Então
\log_a\bigl(x^{2}(x+2)\bigr)<1 \qquad\Longleftrightarrow\qquad x^{2}(x+2)<a.
  • Tomando a base a=10 (convenção de log comum) a inequação fica
x^{2}(x+2)<10.
(Se a base fosse outra a>1, trocar 10 por a e o raciocínio é análogo.)

Passo 5

Reduzir a inequação a uma inequação polinomial:
  • Escrevendo o polinômio:
x^{2}(x+2)=x^{3}+2x^{2}.
  • A inequação x^{2}(x+2)<10 é equivalente a
x^{3}+2x^{2}-10<0.
Vamos estudar o sinal do polinômio cúbico
p(x)=x^{3}+2x^{2}-10.

Passo 6

Análise do sinal de p(x):
  • Observar o comportamento: \lim_{x\to -\infty}p(x)=-\infty e \lim_{x\to\infty}p(x)=\infty, logo existe pelo menos uma raiz real.
  • Calcular derivada para ver possíveis extremos:
p'(x)=3x^{2}+4x=x(3x+4).
As derivadas nulas dão x=0 e x=-\tfrac{4}{3}. Avaliando p nesses pontos:
p\!\left(-\tfrac{4}{3}\right)=\left(-\tfrac{4}{3}\right)^{3}+2\left(-\tfrac{4}{3}\right)^{2}-10 \approx -2{,}37+3{,}56-10<0,
p(0)=-10<0.
Portanto os extremos locais (máximo em -\tfrac{4}{3} e mínimo em 0) são ambos negativos. Isso implica que o polinômio cruza o eixo x apenas uma vez (apenas uma raiz real) e é negativo para todos os x menores que essa raiz e positivo para x maiores que essa raiz.

Passo 7

Encontrar numericamente a raiz real positiva r de p(x)=0:
  • Procuramos r>0 tal que r^{3}+2r^{2}-10=0.
  • Testes simples:
    • p(1)=1+2-10=-7<0.
    • p(2)=8+8-10=6>0.
      Logo a raiz está em (1,2).
  • Fazer bissecção rápida para três casas decimais:
    • p(1{,}65)\approx -0{,}062875 (negativo).
    • p(1{,}66)\approx 0{,}084296 (positivo).
      Raiz em (1{,}65,1{,}66).
    • Testando x=1{,}654 obtém-se p(1{,}654)\approx -0{,}0038 (ligeiramente negativo).
    • Testando x=1{,}655 obtém-se p(1{,}655)\approx 0{,}011 (ligeiramente positivo).
      Logo a raiz está entre 1{,}654 e 1{,}655.
  • Tomando aproximação com três casas decimais:
r\approx 1{,}654.

Passo 8

Intersecção com o domínio e conclusão da solução:
  • Já sabemos que p(x)<0 para x<r e p(x)>0 para x>r.
  • A inequação original pede p(x)<0 e, além disso, x deve estar no domínio (-2,0)\cup(0,\infty).
  • Interseção:
    • Para x\in(-2,0) temos de fato p(x)<0 (pois -2< x <0 < r), então todo (-2,0) está na solução.
    • Para x>0 precisamos também de x<r. Assim, da parte positiva fica (0,r).
  • Não incluímos os pontos x=-2, x=0 e x=r porque em x=-2 e x=0 o logaritmando é zero (não permitido) e em x=r a desigualdade seria \log(\cdot)=1 (igualdade), mas queremos estrita <1.

Resposta

(-2,0)\cup(0,1{,}654)

Exercícios relacionados