Exercício 4.3 Uma epidemia de SARS (Severe Acute Respiratory Syndrome) atinge o sudeste asiático. Calculou-se que o número de pessoas infectadas em abril de 2003 é dado aproximadamente por \mathrm{P}(\mathrm{n})=50 \mathrm{n}^{2}-\mathrm{n}^{3} sendo n o número de dias a partir de 1^{\circ}. de abril de 2003. Qual é a taxa (instantânea) de expansão da epidemia em 30 de abril de 2003?
(Obs.: a função P é fictícia)

Passo 1

O enunciado nos dá a função de pessoas infectadas
P(n)=50n^{2}-n^{3}
em que n é o número de dias a partir de 1º de abril de 2003, e pede a taxa instantânea de expansão em 30 de abril de 2003. Para isso, vamos precisar calcular a derivada de P e avaliá-la em n=30.

Passo 2

Para obter a taxa instantânea de expansão calculamos a derivada de P(n) em relação a n. Usando a regra de derivação de potências, temos
P'(n)=\frac{d}{dn}\bigl(50n^{2}-n^{3}\bigr)=100n-3n^{2}

Passo 3

A taxa em 30 de abril corresponde a n=30. Substituindo na expressão de P'(n):
P'(30)=100\cdot30-3\cdot30^{2}=3000-2700=300
Essa taxa está em pessoas por dia.

Resposta

A taxa instantânea de expansão da epidemia em 30 de abril de 2003 é de 300 pessoas por dia.

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