Exercício 10 (S.1.15)
Seja f: R times R^n R^n contínua e Lipschitziana com respeito a segunda variável (Existe K>0 tal que |f(t, x)-f(t, y)| <= K|x-y|, para todo (t, x) e (t, y) in R times R^n ). Prove que dado ( t0, x0 ) in R times R^n existe uma única solução de
x^prime(t)=f(t, x), x(t0)=x0
definida em todo R.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, sendo
fcolon RtimesR^ntoR^n
contínua e satisfazendo a condição de Lipschitz global em x (isto é, existe K>0 tal que
|f(t,x)-f(t,y)|<= K|x-y|forall,tinR,;x,yinR^n),
o problema de valor inicial
x'(t)=fl(t,x(t)r), x(t0)=x0
possui solução única definida em todo R.
Conteúdo: aplicaremos o Teorema de Picard–Lindelöf para existência e unicidade local e depois usaremos uma estimativa de Gronwall para estender a solução globalmente.

Passo 2

Aplicamos Picard–Lindelöf numa vizinhança de t0. Como f é contínua em (t,x) e Lipschitz em x, definimos o operador de Picard numa bola de raio R em funções de [t0-h,t0+h] em R^n por
(Phi x)(t)=x0+integralt0^tfl(s,x(s)r),ds
Escolhendo h>0 e R>0 de modo que |f(t,x)| seja limitado em [t0-h,t0+h]times BR e que Kh<1, garante-se que Phi é contração no espaço das funções contínuas com norma do supremo. Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, existe única solução x(t) em [t0-h,t0+h].

Passo 3

Para estender a solução além de [t0-h,t0+h], mostramos que não ocorre “explosão” em tempo finito. Seja x(t) a solução em algum intervalo onde esteja definida. Note que
|x(t)|<=|x0|+integralt0^t|f(s,x(s))|,ds
Como
|f(s,x)|<=|f(s,0)|+K|x|,
temos
|x(t)|<=|x0|+integralt0^t|f(s,0)|,ds+Kintegralt0^t|x(s)|,ds
Pelo Lema de Gronwall, isso implica
|x(t)|<=l(|x0|+!integralt0^t|f(s,0)|,dsr)e^K|t-t0|,
ou seja, |x(t)| permanece limitada em qualquer intervalo finito.

Passo 4

Como a solução não explode (permanece limitada) e f é contínua, podemos continuar a solução além de qualquer ponto de fronteira do intervalo de existência local. Repetindo esse prolongamento finito vezes, cobrimos todo R. A unicidade local estende-se ao global por justaposição em intervalos sobrepostos, garantindo que não existam duas soluções diferentes partindo de (t0,x0).

Resposta

Para qualquer (t0,x0)inRtimesR^n, o problema
x'(t)=fl(t,x(t)r), x(t0)=x0
possui solução única definida para todo tinR.

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