Exercício 10 (S.1.15)
Seja
contínua e Lipschitziana com respeito a segunda variável (Existe
tal que
, para todo
e
). Prove que dado (
)
existe uma única solução de
definida em todo
.
Seja
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, sendo
contínua e satisfazendo a condição de Lipschitz global em
(isto é, existe
tal que
o problema de valor inicial
possui solução única definida em todo
.
Conteúdo: aplicaremos o Teorema de Picard–Lindelöf para existência e unicidade local e depois usaremos uma estimativa de Gronwall para estender a solução globalmente.
Conteúdo: aplicaremos o Teorema de Picard–Lindelöf para existência e unicidade local e depois usaremos uma estimativa de Gronwall para estender a solução globalmente.
Passo 2
Aplicamos Picard–Lindelöf numa vizinhança de
. Como
é contínua em
e Lipschitz em
, definimos o operador de Picard numa bola de raio
em funções de
em
por
Escolhendo
e
de modo que
seja limitado em
e que
, garante-se que
é contração no espaço das funções contínuas com norma do supremo. Pelo Teorema do Ponto Fixo de Banach, existe única solução
em
.
Passo 3
Para estender a solução além de
, mostramos que não ocorre “explosão” em tempo finito. Seja
a solução em algum intervalo onde esteja definida. Note que
Como
temos
Pelo Lema de Gronwall, isso implica
ou seja,
permanece limitada em qualquer intervalo finito.
Passo 4
Como a solução não explode (permanece limitada) e
é contínua, podemos continuar a solução além de qualquer ponto de fronteira do intervalo de existência local. Repetindo esse prolongamento finito vezes, cobrimos todo
. A unicidade local estende-se ao global por justaposição em intervalos sobrepostos, garantindo que não existam duas soluções diferentes partindo de
.
Resposta
Para qualquer
, o problema
possui solução única definida para todo
.