Resolva os problemas não-homogêneos a seguir:
X^prime=(cc3 & 2 -2 & -1) X+binom2 e^-te^-t

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema linear não-homogêneo
onde
Vamos primeiro achar a solução geral do homogêneo e depois uma solução particular por coeficientes a determinar.

Passo 2

Para o homogêneo calculemos o polinômio característico de A:
det(A-lambda I)=3-lambda&2-2&-1-lambda =(3-lambda)(-1-lambda)-(-4)=lambda^2-2lambda+1=(lambda-1)^2
Há valor próprio duplo lambda=1, com espaço próprio de dimensão 1.
Resolvendo (A-I)v=0 obtemos
(A-I)=2&2-2&-2, v=1-1
Como só há um vetor próprio, buscamos um vetor generalizado w tal que (A-I)w=v.
Resolvendo
2&2-2&-2w =1-1
uma solução é w=(tfrac12,0)^T.
Logo a solução geral do homogêneo é
Xh(t) =e^t[C1,v+C2(t,v+w)] =e^t[C11-1 +C2(t-t+tfrac120)]

Passo 3

Procuramos uma solução particular do tipo Xp(t)=e^-tu, com u constante.
Então
Xp'=-e^-tu, A,Xp=e^-tAu,
e a equação não-homogênea vira
-e^-tu =e^-tAu+e^-t21 ;Longrightarrow; -(u)=Au+21 ;Longrightarrow; (A+I)u=-21
Como
A+I=4&2-2&0,
resolvendo
4&2-2&0u=-21
u=(tfrac12,-2)^T.
Portanto
Xp(t)=e^-ttfrac12-2

Passo 4

A solução geral do sistema é
X(t)=Xh(t)+Xp(t) =e^t[C11-1 +C2(t-t+tfrac120)] ;+;e^-ttfrac12-2,
com C1,C2 constantes arbitrárias.

Resposta

boxed X(t) =e^t[C11-1 +C2(t-t+tfrac120)] +e^-ttfrac12-2

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