Resolva os problemas não-homogêneos a seguir:
d xd t & =2 x-y d yd t & =3 x-2 y+4 t

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem não homogêneas
dot x = 2x - y, dot y = 3x - 2y + 4t
Vamos resolver por decomposição em solução homogênea mais particular.

Passo 2

Primeiro, resolvemos o sistema homogêneo
dot x = 2x - y, dot y = 3x - 2y
Escrevendo em forma matricial, dotu = Au com
A = 2 & -1 3 & -2
Calculamos os autovalores de A pela equação característica:
det(A - lambda I) = (2-lambda)(-2-lambda) -(-1)cdot3 = lambda^2 -1 = 0,
logo lambda1=1 e lambda2=-1.
Para lambda1=1, um autovetor é v1=(1,1).
Para lambda2=-1, um autovetor é v2=(1,3).
Assim, a solução homogênea é
xh = C1 e^t + C2 e^-t, yh = C1 e^t + 3C2 e^-t

Passo 3

Agora encontramos uma solução particular
Derivando, e . Substituindo no sistema original:
Igualando coeficientes de e constantes na primeira equação:
e na segunda:
Da primeira vem . Logo . Substituindo nos termos constantes achamos e .
Portanto

Passo 4

A solução geral do sistema é a soma da parte homogênea com a particular:
x(t) = C1 e^t + C2 e^-t + 4t,
y(t) = C1 e^t + 3C2 e^-t + 8t - 4

Resposta

x(t) = C1 e^t + C2 e^-t + 4t,
y(t) = C1 e^t + 3C2 e^-t + 8t - 4

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