Resolva os problemas não-homogêneos a seguir:
Passo 1
O enunciado apresenta um sistema de equações diferenciais lineares de primeira ordem não homogêneas
Vamos resolver por decomposição em solução homogênea mais particular.
Passo 2
Primeiro, resolvemos o sistema homogêneo
Escrevendo em forma matricial,
dotu = Au com
Calculamos os autovalores de
A pela equação característica:
logo
lambda1=1 e
lambda2=-1 .
Paralambda1=1 , um autovetor é
v1=(1,1) .
Paralambda2=-1 , um autovetor é
v2=(1,3) .
Assim, a solução homogênea é
Para
Para
Assim, a solução homogênea é
Passo 3
Agora encontramos uma solução particular
Derivando,
e
. Substituindo no sistema original:
Igualando coeficientes de
e constantes na primeira equação:
e na segunda:
Da primeira vem . Logo
. Substituindo nos termos constantes achamos
e
.
Portanto
Passo 4
A solução geral do sistema é a soma da parte homogênea com a particular: