Sejam F: R^3 R^2 e G: R^3 R^2 transformações lineares definidas por
& F(x, y, z)=(x+y, z) & G(x, y, z)=(x, y-z)
(a) Calcule (F+G)(v), com v=(2,3,4).
(b) Obtenha uma expressão para a transformação F+G
(c) Calcule (2 F-3 G)(v), com v=(2,3,4).
(d) Obtenha uma expressão para a transformação 2 F-3 G

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares
F,G:R^3toR^2\
definidas por
F(x,y,z)=(x+y,;z),
G(x,y,z)=(x,;y-z)
Queremos (a) aplicar F+G a um vetor v=(2,3,4), (b) achar a fórmula geral de F+G, (c) aplicar 2F-3G a v e (d) achar a fórmula geral de 2F-3G. Vamos usar a propriedade de linearidade:
(alpha F+beta G)(x,y,z)=alpha,F(x,y,z)+beta,G(x,y,z)

Passo 2

Calcular (F+G)(v) usando
(F+G)(v)=F(v)+G(v)
Primeiro
F(2,3,4)=(2+3,;4)=(5,4),
G(2,3,4)=(2,;3-4)=(2,-1)
Logo
(F+G)(2,3,4)=(5,4)+(2,-1)=(7,3)

Passo 3

Obter expressão geral de F+G:
(F+G)(x,y,z)=F(x,y,z)+G(x,y,z)=(x+y,;z)+(x,;y-z)
Somando componente a componente, vem
(F+G)(x,y,z)=(x+y+x,;z+y-z)=(2x+y,;y)

Passo 4

Calcular (2F-3G)(v) usando
(2F-3G)(v)=2,F(v)-3,G(v)
Já temos F(2,3,4)=(5,4) e G(2,3,4)=(2,-1), então
2F(v)=(10,8), 3G(v)=(6,-3),
(2F-3G)(2,3,4)=(10,8)-(6,-3)=(4,11)

Passo 5

Obter expressão geral de 2F-3G:
(2F-3G)(x,y,z)=2,(x+y,;z)-3,(x,;y-z)
Isso dá
(2x+2y-3x,;2z-3y+3z)=(-x+2y,;5z-3y)

Resposta

(a) (F+G)(2,3,4)=(7,3)
(b) (F+G)(x,y,z)=(2x+y,;y)
(c) (2F-3G)(2,3,4)=(4,11)
(d) (2F-3G)(x,y,z)=(-x+2y,;5z-3y)

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