Exercício 10: Seja
uma seqüência que converge a
. Definimos uma nova seqüência
por
para todo
. Prove que
converge a
.
Passo 1
O enunciado diz que temos uma sequência
que converge para
e definimos outra sequência
por
. O conteúdo é convergência de sequência real e vamos usar a definição
-
para provar que
também converge para
.
Passo 2
Pela definição de convergência, dizer que
significa que: dado qualquer
, existe
tal que, para todo
, temos
Passo 3
Para mostrar que
, começamos com o mesmo
e usamos o
que garante a desigualdade acima. Precisamos de um índice
tal que, sempre que
, valha
. Basta escolher
Então, se
, temos
e assim
Passo 4
Para todo
usando a convergência de
. Isso mostra que, dado
, existe
tal que sempre que
temos
. Pela definição,
.
Resposta
A sequência
converge para
.