Exercício 10: Seja L uma seqüência que converge a yk=xk+9. Definimos uma nova seqüência k in N por L para todo . Prove que converge a .

Passo 1

O enunciado diz que temos uma sequência (xk) que converge para L e definimos outra sequência (yk) por yk = xk+9. O conteúdo é convergência de sequência real e vamos usar a definição varepsilon- N para provar que yk também converge para L.

Passo 2

Pela definição de convergência, dizer que xk to L significa que: dado qualquer varepsilon > 0, existe N in N tal que, para todo k >= N, temos
|xk - L| < varepsilon

Passo 3

Para mostrar que yk to L, começamos com o mesmo varepsilon > 0 e usamos o N que garante a desigualdade acima. Precisamos de um índice M tal que, sempre que k >= M, valha k + 9 >= N. Basta escolher
M = maxN - 9, 1
Então, se k >= M, temos k + 9 >= N e assim

Passo 4

Para todo k >= M
|yk - L| = |xk+9 - L| < varepsilon,
usando a convergência de xk. Isso mostra que, dado varepsilon>0, existe M tal que sempre que k>= M temos |yk - L|. Pela definição, yk to L.

Resposta

A sequência yk = xk+9 converge para L.

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