Exercício 2.2.5. Seja a um inteiro. Mostre que:
(a) a^{2}-a é divisível por 2 ;
(b) a^{3}-a é divisível por 6;
(c) a^{5}-a é divisível por 30.

Passo 1

O enunciado dá que a é um inteiro e pede para provar três afirmações de divisibilidade:
  • (a) mostrar que a^{2}-a é divisível por 2;
  • (b) mostrar que a^{3}-a é divisível por 6;
  • (c) mostrar que a^{5}-a é divisível por 30.
Informações relevantes que temos: a é um inteiro (qualquer inteiro). Não há outros dados numéricos. A tarefa é provar divisibilidades para expressões polinomiais em a.

Passo 2

Antes de começar a provar, explico dois conceitos que vou usar e como aplicá-los de forma simples.
Definição de divisibilidade: dizer que um inteiro x é divisível por outro inteiro positivo m significa que existe um inteiro k com
x = m\cdot k.
Também se usa a linguagem modular: escrever x \equiv 0 \pmod{m} significa que m divide x.
Estratégia habitual aqui: fatorar a expressão quando possível e usar propriedades óbvias sobre inteiros consecutivos e classes modulares pequenas (por exemplo, checar restos módulo 3 ou 5). Vou explicar cada passo detalhadamente quando usar essas ideias.

Passo 3

Prova de (a): mostrar que a^{2}-a é divisível por 2.
Primeiro fatoro a expressão:
a^{2}-a = a(a-1).
Isto é o produto de dois inteiros consecutivos: a e a-1. Entre dois inteiros consecutivos sempre há um número par, porque a paridade alterna entre par e ímpar. Em termos práticos:
  • se a for par então a é múltiplo de 2, logo a(a-1) é múltiplo de 2;
  • se a for ímpar então a-1 é par, logo a(a-1) é múltiplo de 2.
Em ambos os casos existe um fator 2 no produto, portanto
a^{2}-a=a(a-1)
é divisível por 2, ou seja
a^{2}-a \equiv 0 \pmod{2}.

Passo 4

Prova de (b): mostrar que a^{3}-a é divisível por 6.
Faço a fatoração:
a^{3}-a = a(a^{2}-1)=a(a-1)(a+1).
Agora a(a-1)(a+1) é o produto de três inteiros consecutivos: a-1,\;a,\;a+1.
Observações úteis:
  1. Entre três inteiros consecutivos há, pelo menos, um múltiplo de 2. (Na verdade há um múltiplo de 2 e, se um dos termos for par a metade pode não estar entre eles, mas o importante é que existe um fator 2 no produto.) Logo o produto é divisível por 2.
  2. Entre três inteiros consecutivos há, pelo menos, um múltiplo de 3, porque os restos módulo 3 aparecem nas formas 0,1,2 e ao percorrer três consecutivos todos os restos aparecem. Logo o produto é divisível por 3.
Portanto o produto tem fatores 2 e 3. Como 2 e 3 são primos distintos (ou seja, são coprimos), a existência de um fator 2 e de um fator 3 no produto implica que o produto é divisível por 2\cdot 3 = 6. Formalmente:
a^{3}-a = a(a-1)(a+1) \equiv 0 \pmod{2} \quad\text{e}\quad a^{3}-a \equiv 0 \pmod{3},
logo
a^{3}-a \equiv 0 \pmod{6}.

Passo 5

Prova de (c): mostrar que a^{5}-a é divisível por 30.
Primeiro fatoro parcialmente:
a^{5}-a = a(a^{4}-1)=a(a^{2}-1)(a^{2}+1)=a(a-1)(a+1)(a^{2}+1).
Observe que os fatores a-1,\;a,\;a+1 aparecem aqui — então pelas mesmas razões do item (b) já sabemos que o produto contém fatores 2 e 3. Logo:
a^{5}-a \equiv 0 \pmod{2} \quad\text{e}\quad a^{5}-a \equiv 0 \pmod{3}.
Falta mostrar que a^{5}-a é também divisível por 5. Mostro isso verificando as possíveis classes de resto de a módulo 5. Todo inteiro a é congruente a exatamente um dos números 0,1,2,3,4 módulo 5. Vou checar cada caso:
  • Se a\equiv 0\pmod{5} então claramente a^{5}-a\equiv 0^{5}-0\equiv 0\pmod{5}.
  • Se a\equiv 1\pmod{5} então a^{5}-a\equiv 1^{5}-1\equiv 0\pmod{5}.
  • Se a\equiv 2\pmod{5} então a^{5}-a\equiv 2^{5}-2 = 32-2 = 30 \equiv 0\pmod{5}.
  • Se a\equiv 3\pmod{5} note que 3\equiv -2\pmod{5}. Então a^{5}-a \equiv (-2)^{5}-(-2) = -32 + 2 = -30 \equiv 0\pmod{5}.
  • Se a\equiv 4\pmod{5} note que 4\equiv -1\pmod{5}. Então a^{5}-a \equiv (-1)^{5}-(-1) = -1+1 = 0 \pmod{5}.
Em todas as cinco classes obtemos a^{5}-a\equiv 0\pmod{5}. Logo 5 divide a^{5}-a.
Agora juntamos os resultados: a^{5}-a é divisível por 2, por 3 e por 5. Os inteiros 2,3,5 são primos distintos (portanto coprimos entre si), então se um número é múltiplo de 2,3 e 5 simultaneamente, ele é múltiplo do produto 2\cdot 3\cdot 5 = 30. Portanto
a^{5}-a \equiv 0 \pmod{30},
ou seja, a^{5}-a é divisível por 30.
(Observação rápida: a verificação módulo 5 acima é, na prática, um caso do Teorema de Fermat que diz a^{5}\equiv a\pmod{5} para todo inteiro a, mas aqui foi mostrado de forma elementar por checagem das cinco classes.)

Passo 6

Resumo didático rápido para lembrar na prova:
  • Para termos do tipo a^{n}-a costuma funcionar fatorar e observar inteiros consecutivos (garante fatores 2 e 3 quando aparecem três consecutivos) e checar restos em módulos pequenos (como 5) porque há poucas classes para testar.
  • Quando se prova divisibilidade por números compostos como 6 ou 30, é comum mostrar divisibilidade por fatores primos e depois usar que esses fatores são coprimos, multiplicando-os para obter a divisibilidade pelo produto.

Resposta

(a) a^{2}-a é divisível por 2.
(b) a^{3}-a é divisível por 6.
(c) a^{5}-a é divisível por 30.

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