Exercício 2.2.5. Seja a um inteiro. Mostre que:
(a)
é divisível por 2 ;
(b)
é divisível por 6;
(c)
é divisível por 30.
(a)
(b)
(c)
Passo 1
O enunciado dá que
é um inteiro e pede para provar três afirmações de divisibilidade:
- (a) mostrar que
é divisível por ; - (b) mostrar que
é divisível por ; - (c) mostrar que
é divisível por .
Informações relevantes que temos:
é um inteiro (qualquer inteiro). Não há outros dados numéricos. A tarefa é provar divisibilidades para expressões polinomiais em
.
Passo 2
Antes de começar a provar, explico dois conceitos que vou usar e como aplicá-los de forma simples.
Definição de divisibilidade: dizer que um inteiro
é divisível por outro inteiro positivo
significa que existe um inteiro
com
Também se usa a linguagem modular: escrever
significa que
divide
.
Estratégia habitual aqui: fatorar a expressão quando possível e usar propriedades óbvias sobre inteiros consecutivos e classes modulares pequenas (por exemplo, checar restos módulo
ou
). Vou explicar cada passo detalhadamente quando usar essas ideias.
Passo 3
Prova de (a): mostrar que
é divisível por
.
Primeiro fatoro a expressão:
Isto é o produto de dois inteiros consecutivos:
e
. Entre dois inteiros consecutivos sempre há um número par, porque a paridade alterna entre par e ímpar. Em termos práticos:
- se
for par então é múltiplo de , logo é múltiplo de ; - se
for ímpar então é par, logo é múltiplo de .
Em ambos os casos existe um fator
no produto, portanto
é divisível por
, ou seja
Passo 4
Prova de (b): mostrar que
é divisível por
.
Faço a fatoração:
Agora
é o produto de três inteiros consecutivos:
.
Observações úteis:
- Entre três inteiros consecutivos há, pelo menos, um múltiplo de
. (Na verdade há um múltiplo de e, se um dos termos for par a metade pode não estar entre eles, mas o importante é que existe um fator no produto.) Logo o produto é divisível por . - Entre três inteiros consecutivos há, pelo menos, um múltiplo de
, porque os restos módulo aparecem nas formas e ao percorrer três consecutivos todos os restos aparecem. Logo o produto é divisível por .
Portanto o produto tem fatores
e
. Como
e
são primos distintos (ou seja, são coprimos), a existência de um fator
e de um fator
no produto implica que o produto é divisível por
. Formalmente:
logo
Passo 5
Prova de (c): mostrar que
é divisível por
.
Primeiro fatoro parcialmente:
Observe que os fatores
aparecem aqui — então pelas mesmas razões do item (b) já sabemos que o produto contém fatores
e
. Logo:
Falta mostrar que
é também divisível por
. Mostro isso verificando as possíveis classes de resto de
módulo
. Todo inteiro
é congruente a exatamente um dos números
módulo
. Vou checar cada caso:
- Se
então claramente . - Se
então . - Se
então . - Se
note que . Então - Se
note que . Então
Em todas as cinco classes obtemos
. Logo
divide
.
Agora juntamos os resultados:
é divisível por
, por
e por
. Os inteiros
são primos distintos (portanto coprimos entre si), então se um número é múltiplo de
e
simultaneamente, ele é múltiplo do produto
. Portanto
ou seja,
é divisível por
.
(Observação rápida: a verificação módulo
acima é, na prática, um caso do Teorema de Fermat que diz
para todo inteiro
, mas aqui foi mostrado de forma elementar por checagem das cinco classes.)
Passo 6
Resumo didático rápido para lembrar na prova:
- Para termos do tipo
costuma funcionar fatorar e observar inteiros consecutivos (garante fatores e quando aparecem três consecutivos) e checar restos em módulos pequenos (como ) porque há poucas classes para testar. - Quando se prova divisibilidade por números compostos como
ou , é comum mostrar divisibilidade por fatores primos e depois usar que esses fatores são coprimos, multiplicando-os para obter a divisibilidade pelo produto.
Resposta
(a)
é divisível por
.
(b) é divisível por
.
(c) é divisível por
.
(b)
(c)