Mostre que uma matriz
tem inversa à esquerda se e somente se
tem inversa à direita.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar a equivalência entre “
ter inversa à esquerda” e “
ter inversa à direita”. O conteúdo usado será a propriedade da transposição de produto de matrizes, isto é,
e o fato de que a transposta da matriz identidade é ela mesma:
.
Passo 2
Suponha que
tenha inversa à esquerda. Então existe uma matriz
tal que
Tranpondo ambos os lados dessa igualdade, obtemos
Pelo fato de
e
, isso vira
Portanto
é uma inversa à direita de
, pois satisfaz
.
Passo 3
Agora suponha que
tenha inversa à direita. Então existe uma matriz
tal que
Tranpondo, vem
e de novo usando
e
, segue
Logo
é uma inversa à esquerda de
, pois
.
Passo 4
Mostramos as duas implicações: se
tem inversa à esquerda então
tem inversa à direita, e recíproco. Assim a condição é, de fato, equivalente.
Resposta
Portanto,
tem inversa à esquerda se e somente se
tem inversa à direita.