Mostre que uma matriz B tem inversa à esquerda se e somente se B^T tem inversa à direita.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar a equivalência entre “ B ter inversa à esquerda” e “ B^T ter inversa à direita”. O conteúdo usado será a propriedade da transposição de produto de matrizes, isto é,
(XY)^T = Y^T X^T
e o fato de que a transposta da matriz identidade é ela mesma: ;I^T = I.

Passo 2

Suponha que B tenha inversa à esquerda. Então existe uma matriz L tal que
L,B = I
Tranpondo ambos os lados dessa igualdade, obtemos
(L,B)^T = I^T
Pelo fato de (XY)^T = Y^T X^T e I^T = I, isso vira
B^T,L^T = I
Portanto L^T é uma inversa à direita de B^T, pois satisfaz B^T,L^T=I.

Passo 3

Agora suponha que B^T tenha inversa à direita. Então existe uma matriz M tal que
B^T,M = I
Tranpondo, vem
(B^T,M)^T = I^T,
e de novo usando (XY)^T = Y^T X^T e I^T=I, segue
M^T,(B^T)^T = M^T,B = I
Logo M^T é uma inversa à esquerda de B, pois M^T B = I.

Passo 4

Mostramos as duas implicações: se B tem inversa à esquerda então B^T tem inversa à direita, e recíproco. Assim a condição é, de fato, equivalente.

Resposta

Portanto, B tem inversa à esquerda se e somente se B^T tem inversa à direita.

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