Exercício 7. Calcule a integral de linha do campo vetorial
F(x, y)=\left(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}}, \frac{x}{x^{2}+y^{2}}+2 x\right)
ao longo da curva C de equação \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 orientada no sentido anti-horário.

Passo 1

O enunciado pede a integral de linha
\oint_{C}F\cdot d\mathbf r
onde
F(x,y)=\Bigl(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\,\frac{x}{x^{2}+y^{2}}+2x\Bigr)
e C é a elipse \frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1 orientada no sentido anti-horário.
O conteúdo é cálculo de integrais de linha em campos não-conservativos com singularidade no interior, usando decomposição e Teorema de Green.

Passo 2

Vamos decompor
F = F_{1} + F_{2},
onde
F_{1}(x,y)=\Bigl(-\frac{y}{x^{2}+y^{2}},\,\frac{x}{x^{2}+y^{2}}\Bigr), \quad F_{2}(x,y)=(0,\,2x).
Note que F_{1} é o campo clássico cuja circulação em torno de uma curva que envolve a origem é 2\pi, e F_{2} tem divergência nula e pode ser tratada pelo Teorema de Green.

Passo 3

Cálculo de \displaystyle\oint_{C}F_{1}\cdot d\mathbf r:
Mesmo que C seja uma elipse, o índice de volta em torno da origem é 1, e sabe-se que
\oint_{C}F_{1}\cdot d\mathbf r = 2\pi.
Isso decorre do fato de F_{1} = \nabla\theta em coordenadas polares, gerando uma volta completa de 2\pi.

Passo 4

Cálculo de \displaystyle\oint_{C}F_{2}\cdot d\mathbf r via Teorema de Green.
Escrevendo F_{2}=(P,Q) com P=0 e Q=2x, temos
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=2.
Logo
\oint_{C}F_{2}\cdot d\mathbf r =\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA =2\iint_{D}dA =2\cdot\text{Area}(D).
Como D é o interior da elipse de semi-eixos a=2 e b=3,
\text{Area}(D)=\pi ab=\pi\cdot2\cdot3=6\pi,
então
\oint_{C}F_{2}\cdot d\mathbf r =2\cdot6\pi=12\pi.

Passo 5

Somando as duas contribuições:
\oint_{C}F\cdot d\mathbf r =\oint_{C}F_{1}\cdot d\mathbf r + \oint_{C}F_{2}\cdot d\mathbf r =2\pi + 12\pi =14\pi.

Resposta

\displaystyle 14\pi

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