Exercício 9. Encontre o fluxo exterior do campo
F=(x+y) \vec{i}-\left(x^{2}+y^{2}\right) \vec{j}
através do triângulo de vértices (1,0),(0,1) e (-1,0).

Passo 1

O enunciado pede o fluxo exterior do campo
F=(x+y)\,\vec i -\bigl(x^{2}+y^{2}\bigr)\,\vec j
através do triângulo cujos vértices são (1,0), (0,1) e (-1,0). Como estamos em duas dimensões, podemos usar o Teorema da Divergência (ou Teorema de Green na forma de fluxo) que diz que, para uma região D com contorno C orientado positivamente (sentido anti-horário) e normal exterior \vec n, vale
\oint_{C}F\cdot\vec n\,ds \;=\;\iint_{D}\!\bigl(\partial_xP+\partial_yQ\bigr)\,dA,
onde F=(P,Q). Aqui P=x+y e Q=-(x^2+y^2).

Passo 2

Calculamos a divergência de F:
\mathrm{div}\,F = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} = \frac{\partial (x+y)}{\partial x} + \frac{\partial\bigl(-x^2-y^2\bigr)}{\partial y} = 1 \;-\;2y.

Passo 3

Descriminamos a região D. O triângulo tem base de (-1,0) a (1,0) e vértice em (0,1). Para 0\le y\le1, as retas laterais são
x = y-1 \quad\text{e}\quad x = 1-y,
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\iint_{D}(1-2y)\,dA = \int_{y=0}^{1}\!\int_{x=y-1}^{\,1-y}\!(1-2y)\,dx\,dy.

Passo 4

Fazendo a integral interna em x:
\int_{x=y-1}^{\,1-y}(1-2y)\,dx = (1-2y)\bigl[(1-y)-(y-1)\bigr] = (1-2y)(2-2y) =2(1-2y)(1-y).
Agora a integral em y:
\int_{0}^{1}2(1-2y)(1-y)\,dy =2\int_{0}^{1}\bigl(1-3y+2y^2\bigr)\,dy =2\Bigl[y-\tfrac{3}{2}y^2+\tfrac{2}{3}y^3\Bigr]_{0}^{1} =2\Bigl(1-\tfrac{3}{2}+\tfrac{2}{3}\Bigr) =2\cdot\tfrac{1}{6} =\tfrac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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