Exercício 10. Sejam f e g duas funções contínuas no intervalo fechado
tais que
e
. Mostre que existe um número
tal que
. Dica considere a função
.
Passo 1
O enunciado dá duas funções contínuas no intervalo fechado
e pede para mostrar que existe um ponto no interior do intervalo onde elas se igualam. Informações dadas:
- As funções
e são contínuas em . - Foi dada a desigualdade
. - Foi dada a desigualdade
.
O que se precisa provar: - Mostrar que existe
tal que .
Dica do enunciado: considerar a função.
Passo 2
Defino a função auxiliar indicada pela dica:
Vou explicar por que é útil olhar para
. A diferença de duas funções diz-nos, em cada ponto
, quanto
é maior que
(se positivo) ou quanto é menor (se negativo). Mostrar que
tem uma raiz (um ponto onde
) é exatamente mostrar que
e
se igualam nesse ponto.
Agora preciso da propriedade técnica que permite aplicar um teorema sobre valores intermediários: a diferença de duas funções contínuas é contínua. Mais precisamente:
- Se
e são contínuas em um ponto , então também é contínua em .
Explicação simples disso: continuidade significa que, quandose aproxima de , se aproxima de e se aproxima de . Então a diferença se aproxima de . Formalmente usa-se propriedades de limites (limite da diferença é a diferença dos limites). Como e são contínuas em todo , concluímos que é contínua em todo .
Passo 3
Calculo os sinais de
nas extremidades do intervalo usando as desigualdades dadas:
Como
, subtraindo
dos dois lados obtemos
. Assim
Análogo em
:
A desigualdade
dá
. Assim
Portanto
e
têm sinais opostos:
.
Passo 4
Vou usar um resultado fundamental sobre funções contínuas (o enunciado implícita e classically): o Teorema do Valor Intermediário (às vezes chamado de teorema de Bolzano). Enunciado do teorema (versão usada aqui):
- Se uma função
é contínua em e e têm sinais opostos (ou mais geralmente se um número está entre e ), então existe tal que .
Intuição simples: uma função contínua não “salta” valores; ao ir deaté tem de passar por todos os valores entre eles. Em particular, se e , então existe com .
Se desejar, uma ideia de prova (sem formalismos abusivos): bisecta-se o intervalo
e escolhe-se o subintervalo onde os sinais de
nas extremidades continuam opostos; repetindo esse processo produz-se uma sequência de intervalos cujo comprimento vai a zero e cujas extremidades sempre têm sinais opostos; o ponto limite desses intervalos é interior e é uma raiz por continuidade. Essa é a prova clássica por bisseção.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário à função
:
- Já mostrei que
é contínua em . - Já mostrei que
.
Pelo teorema, existetal que
Mas
. Portanto
Isso estabelece exatamente o que se pedia: existe um ponto no interior do intervalo onde
e
se igualam.
Passinho extra para fixar a intuição (exemplo concreto): tome
,
,
e
. Então
e
. Aqui
, e a raiz é
, que está em
. Isso ilustra o argumento abstrato com números.