Exercício 10. Sejam f e g duas funções contínuas no intervalo fechado [a, b] tais que f(a)<g(a) e g(b)<f(b). Mostre que existe um número c \in(a, b) tal que f\text{(c)}=g\text{(c)}. Dica considere a função h(x)=f(x)-g(x).

Passo 1

O enunciado dá duas funções contínuas no intervalo fechado [a,b] e pede para mostrar que existe um ponto no interior do intervalo onde elas se igualam. Informações dadas:
  • As funções f e g são contínuas em [a,b].
  • Foi dada a desigualdade f(a) < g(a).
  • Foi dada a desigualdade g(b) < f(b).
    O que se precisa provar:
  • Mostrar que existe c \in (a,b) tal que f\text{(c)}=g\text{(c)}.
    Dica do enunciado: considerar a função h(x)=f(x)-g(x).

Passo 2

Defino a função auxiliar indicada pela dica:
h(x)=f(x)-g(x).
Vou explicar por que é útil olhar para h. A diferença de duas funções diz-nos, em cada ponto x, quanto f é maior que g (se positivo) ou quanto é menor (se negativo). Mostrar que h tem uma raiz (um ponto onde h(x)=0) é exatamente mostrar que f e g se igualam nesse ponto.
Agora preciso da propriedade técnica que permite aplicar um teorema sobre valores intermediários: a diferença de duas funções contínuas é contínua. Mais precisamente:
  • Se f e g são contínuas em um ponto x_0, então f-g também é contínua em x_0.
    Explicação simples disso: continuidade significa que, quando x se aproxima de x_0, f(x) se aproxima de f(x_0) e g(x) se aproxima de g(x_0). Então a diferença f(x)-g(x) se aproxima de f(x_0)-g(x_0). Formalmente usa-se propriedades de limites (limite da diferença é a diferença dos limites). Como f e g são contínuas em todo [a,b], concluímos que h é contínua em todo [a,b].

Passo 3

Calculo os sinais de h nas extremidades do intervalo usando as desigualdades dadas:
h(a)=f(a)-g(a).
Como f(a)<g(a), subtraindo g(a) dos dois lados obtemos f(a)-g(a)<0. Assim
h(a)<0.
Análogo em b:
h(b)=f(b)-g(b).
A desigualdade g(b)<f(b) f(b)-g(b)>0. Assim
h(b)>0.
Portanto h(a) e h(b) têm sinais opostos: h(a)<0<h(b).

Passo 4

Vou usar um resultado fundamental sobre funções contínuas (o enunciado implícita e classically): o Teorema do Valor Intermediário (às vezes chamado de teorema de Bolzano). Enunciado do teorema (versão usada aqui):
  • Se uma função k é contínua em [a,b] e k(a) e k(b) têm sinais opostos (ou mais geralmente se um número L está entre k(a) e k(b)), então existe c\in(a,b) tal que k\text{(c)}=L.
    Intuição simples: uma função contínua não “salta” valores; ao ir de k(a) até k(b) tem de passar por todos os valores entre eles. Em particular, se k(a)<0 e k(b)>0, então existe c com k\text{(c)}=0.
Se desejar, uma ideia de prova (sem formalismos abusivos): bisecta-se o intervalo [a,b] e escolhe-se o subintervalo onde os sinais de k nas extremidades continuam opostos; repetindo esse processo produz-se uma sequência de intervalos cujo comprimento vai a zero e cujas extremidades sempre têm sinais opostos; o ponto limite desses intervalos é interior e é uma raiz por continuidade. Essa é a prova clássica por bisseção.

Passo 5

Aplicando o Teorema do Valor Intermediário à função h:
  • Já mostrei que h é contínua em [a,b].
  • Já mostrei que h(a)<0<h(b).
    Pelo teorema, existe c\in(a,b) tal que
h\text{(c)}=0.
Mas h\text{(c)}=f\text{(c)}-g\text{(c)}. Portanto
f\text{(c)}-g\text{(c)}=0\quad\Rightarrow\quad f\text{(c)}=g\text{(c)}.
Isso estabelece exatamente o que se pedia: existe um ponto no interior do intervalo onde f e g se igualam.
Passinho extra para fixar a intuição (exemplo concreto): tome a=0, b=1, f(x)=x e g(x)=1-x. Então f(0)=0<1=g(0) e g(1)=0<f(1)=1. Aqui h(x)=f(x)-g(x)=2x-1, e a raiz é x=\tfrac{1}{2}, que está em (0,1). Isso ilustra o argumento abstrato com números.

Resposta

\exists c\in(a,b)\text{ tal que }f\text{(c)}=g\text{(c)}

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