Exercício 5.3.10. Sejam v_{1}, \ldots, v_{k} vetores do \mathbb{R}^{n}. Seja A_{n \times k} matriz cuja coluna i é o vetor v_{i}, isto é, A=\left(v_{1}, v_{2}, \ldots, v_{k}\right). Seja x=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\\ \vdots \\\ x_{k}\end{array}\right).
a) Se convença que A x=x_{1} v_{1}+x_{2} v_{2}+\ldots x_{k} v_{k}.
b) Mostre que v_{1}, \ldots, v_{k} são L.I. se e somente se a única solução para o sistema A x=\overrightarrow{0} é a solução x_{1}=x_{2}=\ldots=x_{k}=0.
c) Mostre que v_{1}, \ldots, v_{k} são L.D. se e somente se o sistema A x=\overrightarrow{0} possuir infinitas soluções.
d) Mostre que v_{1}, \ldots, v_{k} são L.D. sempre que k>n.
e) Mostre que, quando k=n, v_{1}, \ldots, v_{n} são L.I. se e somente se \operatorname{det}(A) \neq 0.
f) Mostre que, quando k<n e v_{1}, \ldots, v_{k} são L.I. então \operatorname{det}\left(A^{t} A\right)>0.
Passo 1
O enunciado define vetores \,v_{1},\dots,v_{k}\in\mathbb{R}^{n} e a matriz A de dimensão n\times k cujas colunas são esses vetores. Também temos o vetor de coeficientes
x = \begin{pmatrix}x_{1}\\vdots\x_{k}\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^{k}.
O conteúdo da matéria envolve definição de multiplicação de matrizes, combinação linear, sistemas homogêneos, conceitos de independência e dependência linear, teoria de determinantes e propriedades de matrizes simétricas positivas.
Passo 2
Para a parte (a) usamos a definição de multiplicação de matrizes: cada coluna i de A é v_{i}, logo a combinação
A x = x_{1}v_{1} + x_{2}v_{2} + \cdots + x_{k}v_{k},
pois multiplicar cada coluna v_{i} pelo escalar x_{i} e somar resulta em Ax.
Passo 3
Para a parte (b) lembramos que \{v_{1},\dots,v_{k}\} é L.I. exatamente quando a única combinação linear que dá o vetor zero é a trivial x_{1}=\cdots=x_{k}=0. Mas combinar linearmente v_{i} com coeficientes x_{i} e obter zero é resolver
A x = \overrightarrow{0}.
Logo os vetores são L.I. se e somente se a única solução desse sistema homogêneo é x_{1}=\cdots=x_{k}=0.
Passo 4
Para a parte (c), \{v_{1},\dots,v_{k}\} é L.D. quando existe combinação não trivial que dá zero, ou seja, existe solução x\neq0 de
A x = \overrightarrow{0}.
Como o sistema é homogêneo, uma solução não trivial implica infinitas soluções (soma de qualquer múltiplo da solução não trivial). Recíproco: infinitas soluções implicam existência de solução não trivial.
Passo 5
Para a parte (d), se k>n então a matriz A tem mais colunas do que linhas, impondo \mathrm{rank}(A)\le n<k. Pelo teorema do posto, o espaço nulo tem dimensão k-\mathrm{rank}(A)>0, logo há solução não trivial de
A x = \overrightarrow{0},
e assim os vetores são L.D.
Passo 6
Para a parte (e), quando k=n a matriz A é quadrada. Vetores L.I. \iff sistema homogêneo tem só solução trivial \iff A é invertível \iff \det(A)\neq0.
Passo 7
Para a parte (f), se k<n e \{v_{1},\dots,v_{k}\} é L.I., então \mathrm{rank}(A)=k (colunas independentes). A matriz A^{t}A é k\times k, simétrica, e para todo x\neq0 vale
pois Ax\neq0. Portanto A^{t}A é positiva definida e seus autovalores são todos positivos, o que implica
\det\bigl(A^{t}A\bigr)>0.
Resposta
(a) A x = x_{1}v_{1} + x_{2}v_{2} + \cdots + x_{k}v_{k}.
(b) v_{1},\dots,v_{k} são L.I. \iff única solução de A x=\overrightarrow{0} é x_{1}=\cdots=x_{k}=0.
(c) v_{1},\dots,v_{k} são L.D. \iff A x=\overrightarrow{0} possui infinitas soluções.
(d) Se k>n então v_{1},\dots,v_{k} são L.D.
(e) Se k=n então v_{1},\dots,v_{n} são L.I. \iff \det(A)\neq0.
(f) Se k<n e v_{1},\dots,v_{k} são L.I. então \det(A^{t}A)>0.