Exercício 5.3.7. Verifique se o seguintes conjuntos de vetores são L.I. ou L.D.
\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá quatro vetores em \mathbb{R}^4:
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_4=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix}
e pede para verificar se eles são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.). Para isso, vamos usar o teste clássico: montar a combinação linear
\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\alpha_3v_3+\alpha_4v_4=0
e ver se existe solução não trivial para os escalares \alpha_i.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada a igualdade
\alpha_1\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} +\alpha_2\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} +\alpha_3\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix} +\alpha_4\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix},
obtemos o sistema
\begin{cases} \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3+\alpha_4=0,\\\ \alpha_1+\alpha_2=0,\\\ \alpha_1+\alpha_4=0,\\\ \alpha_1+\alpha_4=0. \end{cases}

Passo 3

Das equações do meio segue
\alpha_2=-\alpha_1 \quad\text{e}\quad \alpha_4=-\alpha_1.
Substituindo na primeira equação:
\alpha_1 +(-\alpha_1)+\alpha_3+(-\alpha_1)=0 \;\Longrightarrow\; -\alpha_1+\alpha_3=0 \;\Longrightarrow\; \alpha_3=\alpha_1.

Passo 4

Achamos portanto a família de soluções
\bigl(\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4\bigr) =\bigl(\alpha_1,-\alpha_1,\alpha_1,-\alpha_1\bigr),
que, para \alpha_1\neq0, é não trivial. Por exemplo, tomando \alpha_1=1, temos
v_1 - v_2 + v_3 - v_4 = 0.
Isso mostra que há combinação não trivial que dá o vetor nulo.

Resposta

O conjunto \{v_1,v_2,v_3,v_4\} é linearmente dependente.

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