Exercício 5.3.7. Verifique se o seguintes conjuntos de vetores são L.I. ou L.D.
\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 1 \\\\ 0\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\\\ 0 \\\\ 0\end{array}\right).

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos os vetores
v_1=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 1\end{pmatrix},\quad v_2=\begin{pmatrix}1\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix},\quad v_3=\begin{pmatrix}1\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}
em \mathbb{R}^3. Queremos verificar se eles são linearmente independentes (L.I.) ou dependentes (L.D.) usando a definição: o conjunto é L.I. se a única solução da combinação \alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\alpha_3v_3=0
for \alpha_1=\alpha_2=\alpha_3=0.

Passo 2

Montamos a combinação linear nula:
\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+\alpha_3v_3=0,
que gera o sistema
\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0,
\alpha_1+\alpha_2=0,
\alpha_1=0.

Passo 3

Resolvendo o sistema:
Da terceira equação vem \alpha_1=0. Substituindo em \alpha_1+\alpha_2=0 obtemos \alpha_2=0. Finalmente, na equação \alpha_1+\alpha_2+\alpha_3=0 segue \alpha_3=0. Portanto, a única solução é a trivial.

Passo 4

Como só há solução trivial, concluímos que o conjunto \{v_1,v_2,v_3\} é linearmente independente.

Resposta

O conjunto é linearmente independente.

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