Exercício 10. Sejam os vetores u=(3, m,-2), v=(1,-1,0) e w=(2,-1,2). Calcule o valor de m para que o volume do paralelepípedo determinado por u, v e w seja igual a 16 u.v.

Passo 1

O enunciado dá os vetores u=(3,m,-2), v=(1,-1,0) e w=(2,-1,2) e pede o valor de m tal que o volume do paralelepípedo por eles gerado seja 16. Para resolver, vamos usar o produto escalar triplo, que dá o volume (em módulo) quando aplicado a três vetores em R^3.

Passo 2

O volume V é dado por
V = l|,ucdot(vtimesw)r|

Passo 3

Primeiro calculamos o produto vetorial vtimesw. Tomando
v=(1,-1,0) e w=(2,-1,2),
vtimesw = i & j & k 1 & -1 & 0 2 & -1 & 2 = (-2,-2,1)

Passo 4

Agora fazemos o produto escalar de u=(3,m,-2) com vtimesw=(-2,-2,1):
ucdot(vtimesw) = 3cdot(-2) + mcdot(-2) + (-2)cdot1 = -6 -2m -2 = -8 -2m

Passo 5

Como o volume é o valor absoluto desse resultado, exigimos
l|-8 -2mr| = 16

Passo 6

Resolvendo l|-8 -2mr| = 16 temos duas equações:
-8 -2m = 16 Rightarrow -2m = 24 Rightarrow m = -12,
-8 -2m = -16 Rightarrow -2m = -8 Rightarrow m = 4

Resposta

Os valores de m que satisfazem a condição são m = 4 ou m = -12.

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