Exercício 8. Encontre o vetor ortogonal ao plano dos vetores u=(3,1,-1) e v=(4,2,3).

Passo 1

O enunciado pede um vetor ortogonal ao plano gerado pelos vetores u=(3,1,-1) e v=(4,2,3). O conteúdo principal aqui é o cálculo do produto vetorial, que nos dá um vetor perpendicular a ambos.

Passo 2

Para obter um vetor ortogonal aos dois dados, usamos o produto vetorial
n = u times v. Ele é definido pelo determinante formado pelos versores e pelas componentes de u e v.

Passo 3

Montamos o determinante para u times v:
u times v = i & j & k 3 & 1 & -1 4 & 2 & 3 = i(1cdot3 - (-1)cdot2) - j(3cdot3 - (-1)cdot4) + k(3cdot2 - 1cdot4)

Passo 4

Agora calculamos cada cofactor:
1cdot3 - (-1)cdot2 = 3 + 2 = 5,
3cdot3 - (-1)cdot4 = 9 + 4 = 13,
3cdot2 - 1cdot4 = 6 - 4 = 2.
Logo
u times v = 5,i - 13,j + 2,k,
isto é, o vetor (5,-13,2) é ortogonal ao plano.

Resposta

(5,-13,2) (ou qualquer múltiplo não nulo deste vetor).

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