Exercício 10 Verifique se os conjuntos abaixo são ou não subespaços de mathbbR^3.
{(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1)}
{(2,1,-2),(3,2,-2),(2,2,0)}

Passo 1

O enunciado pede pra verificar se cada conjunto de vetores é subespaço de R^3. Pra isso a teoria diz que um subconjunto WsubseteqR^3 é subespaço se, e somente se: contém o vetor zero, é fechado sob soma de vetores e é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Considere o primeiro conjunto A=(1,0,0),(0,1,1),(1,0,1). Primeiro testamos o vetor zero: (0,0,0)notin A, então já falha na condição de conter o zero. Além disso, mesmo se tentássemos fechar pela soma, por exemplo (1,0,0)+(0,1,1)=(1,1,1) não pertence a A. Logo A não é subespaço.

Passo 3

Agora o segundo conjunto B=(2,1,-2),(3,2,-2),(2,2,0). De novo o vetor zero (0,0,0) não está em B, então falha já na primeira condição. Para efeito de ilustração a soma de dois vetores, digamos (2,1,-2)+(3,2,-2)=(5,3,-4), também não está em B. Assim, B também não é subespaço.

Resposta

Nenhum dos dois conjuntos é subespaço de R^3.

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