Sabendo que u cdot v é um produto (distributivo) comutativo ( a b=b a ) tal que v cdot v=|v|^2 onde |v| é a norma euclidiana (“distância”).
(a) Mostre que u cdot v=|u| cdot|v| cos theta onde theta é o ângulo entre u e v.
(b) Encontre a expressão de u cdot v em termos da norma.

Passo 1

A questão trata do produto escalar de vetores em um espaço euclidiano e pede duas coisas: (a) derivar a forma trigonométrica ucdotv=|u|,|v|costheta, onde theta é o ângulo entre u e v; e (b) escrever ucdotv apenas em termos de normas. Vamos usar a definição de norma via produto escalar e a lei dos cossenos.

Passo 2

Para qualquer vetor w vale |w|^2=wcdotw. Então, considere o vetor u-v e calcule sua norma ao quadrado usando distributividade do produto escalar:
|u-v|^2=(u-v)cdot(u-v) =ucdotu-2,ucdotv+vcdotv =|u|^2+|v|^2-2,ucdotv

Passo 3

Por outro lado, o triângulo formado pelos vetores u, v e u-v satisfaz a lei dos cossenos:
|u-v|^2=|u|^2+|v|^2-2,|u|,|v|costheta

Passo 4

Comparando as duas expressões de |u-v|^2, vemos que o termo -2,ucdotv em uma corresponde a -2,|u|,|v|costheta na outra. Então isolamos:
ucdotv=|u|,|v|costheta, o que resolve a parte (a).

Passo 5

Para a parte (b), basta voltar à expansão algébrica do passo 2 e isolar ucdotv:
ucdotv=|u|^2+|v|^2-|u-v|^22

Resposta

(a) ucdotv=|u|,|v|costheta
(b) ucdotv=|u|^2+|v|^2-|u-v|^22

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