Sabendo que
é um produto (distributivo) comutativo (
) tal que
onde
é a norma euclidiana (“distância”).
(a) Mostre que
onde
é o ângulo entre
.
(b) Encontre a expressão de
em termos da norma.
(a) Mostre que
(b) Encontre a expressão de
Passo 1
A questão trata do produto escalar de vetores em um espaço euclidiano e pede duas coisas: (a) derivar a forma trigonométrica
, onde
é o ângulo entre
e
; e (b) escrever
apenas em termos de normas. Vamos usar a definição de norma via produto escalar e a lei dos cossenos.
Passo 2
Para qualquer vetor
vale
. Então, considere o vetor
e calcule sua norma ao quadrado usando distributividade do produto escalar:
Passo 3
Por outro lado, o triângulo formado pelos vetores
,
e
satisfaz a lei dos cossenos:
Passo 4
Comparando as duas expressões de
, vemos que o termo
em uma corresponde a
na outra. Então isolamos:
Passo 5
Para a parte (b), basta voltar à expansão algébrica do passo 2 e isolar
:
Resposta
(a)
(b)
(b)